-106-第四章定积分本章主要知识点定积分计算特殊类函数的定积分计算变限积分定积分有关的证明题广义积分敛散性定积分应用(1)面积(2)旋转体体积一、定积分计算定积分计算主要依据牛顿—莱伯尼兹公式:设CxFdxxf)()(,则()()()()bbaafxdxFbFaFx。其主要计算方法与不定积分的计算方法是类似的,也有三个主要方法,但需要指出的是对于第Ⅱ类直接交换法,注意积分限的变化:111()()()()()(())xtbbaatxfxdxfttdt。例4.1.11(ln1)exdxx解:原式=e1(ln1)lnxdx=32125((ln)ln)|33exx例4.2.3011xdxx解:原式txtx112221121ttdtt=32121ttdtt=322125()|33tt例4.3.202sinxdxx第四章定积分-107-解:原式=202cos21xxd=20202cos21|2cos21xdxxx=20|2sin414x=4二、特殊类函数的定积分计算1.含绝对值函数利用函数的可拆分性质,插入使绝对值为0的点,去掉绝对值,直接积分即可。例4.4.21|1|dxx解:原式=1211(1)(1)xdxxdx212|)2(2xx)121(0225例4.5.22|)1||1(|dxxx解:原式=112211(|1||1|)(|1||1|)(|1||1|)xxdxxxdxxxdx=112211(11)(11)(11)xxdxxxdxxxdx=112211222xdxdxxdx=212122|4|xx=)14(4)41(=102.分段函数积分例4.6.0,10,)(2xxxxxf,求11)(dxxf解:原式=0110)()(dxxfdxxf=01102)1(dxxdxx=103012|31|)2(xxx=31)121(=65第四章定积分-108-例4.7.1,1,12)(xxxxxf,求12)1(dxxf解:原式11221(1)()uxfxdxfudu1211()()fudufudu1222111(21)0()uduuduuu6243.奇函数积分如果()fx为定义在,aa的奇函数,则()0aafxdx,这是一个很重要考点。例4.8.20082423arctan01xxdxx例4.9.333214441sin()1xxxedxx解:原式111110xxedxeee例4.10.42222cossin2(1)(2)xxxxxxedxxx解:原式222200()xxxxedxxee22(1)(1)22ee例4.11.()fx为[-a,a]上的连续函数,计算2(()()ln(1))aafxfxxxdx解:2()(),ln(1)fxfxxx为奇函数,原式=04.关于三角函数积分对积分2200sincosnnnIxdxxdx成立:第四章定积分-109-22123122(2)22nnnInn;2122(1)2121213nnnInn这个结论应牢记,对于某些三角函数积分可以做到快捷。例4.12.2620sincosxxdx解:原式2620(1cos)cosxxdx685317531642286422II5256例4.13.7220sincosxxdx解:原式27202sincosxxdx972II.5.一些特殊的含有特定技巧的积分例4.14.1211sin()1xxdxe解:令tx,原式=I=112211sinsin11txtxeetdtxdxJee,121sin1IJxdx,则I=12。例4.15.40ln(1tan)xdx解:令,4tx原式=I=0440041tan2ln(1tan())ln(1)ln()41tan1tanttdtdtdttt第四章定积分-110-=ln24I,解得I=ln28。例4.16.20sin1sinxxdxx解:令tx,原式=I=-020sin()sin()()1sintttdttdttt=20sin1sintdtIt,I=20sin21ln21sin2221xdxx三、变限积分变上限积分是函数的另一种重要形式。求导公式xaxftdtfx(其中.aconst)是一个非常重要的公式,它提供了利用导数来研究它的工具.更一般的结论是:212211xxdftdtfxxfxxdx例4.17.020sinln14limtan(121)xxttdtxx解:原式030sinln14limxxttdtx20sinln14lim3xxxx204lim3xxxx43例4.18.22tan320sin020(1)limsin2txxxttedtetdt解:原式22tan322sin220tan1seclimsin22sincosxxxxexexxx23402lim42xxxxx161例4.19.已知220xtfxtedt,研究xf的单调性,凹凸性.第四章定积分-111-解:22xfxxe22222xxfxxexex2212xexx由0,0fxfx得1,0xxx,111,000,111,fxfxfx拐点拐点拐点例4.20.若3()(2)xxpxfxtdt,其中)(xf是已知一阶可导函数,求dxdp,22dxpd解:25511()()()22uxtxxxxpxfudufudu1(()5(5))2dpfxfxdx,22125()(5)22dpfxfxdx例4.21.已知函数xf连续。且2lim0xxfx。设10xfxtdt,求x,并讨论x的连续性。解:.当0x时,100011()()()()uxtxxxfxtdtfudufuduxx;当0x时,)0()0()(10fdtfx由0()lim2xfxx,故(0)0f,0(),0()00xfuduxxxx当0x,02()()()xxfxfuduxx,第四章定积分-112-000()0()(0)(0)limlimhhhfuduhhhh0200())limlim12hhhfudufhhh(,00220000()()()()lim()limlimlimxxxxxxxfxfudufudufxxxxx0()2lim211(0)2xfxx,所以,()x点点连续。四、有关定积分的证明题有关定积分的证明题,主要的方法有:(1)线性交换,如baxt(2)变上限求导公式(3)恒等变形。例4.22.如果)(xf为[,]aa上的奇函数,证明0)(dxxfaa。证明:0000()()()()()txaaaaaafxdxfxdxfxdxftdtfxdx令0000()()()()aaaaftdtfxdxftdtfxdx00()()0aafxdxfxdx例4.23.证明:2200(sin)(cos)fxdxfxdx,其中)(xf为已知可积函数。证明:左边2002022(sin())(cos())(cos())2txftdtftdtftdt例4.24.已知)(xf是以0T为周期的连续函数,那么对任何实数a成立0()()aTTafxdxfxdx证明:00aTTaTaaTfxdxfxdxfxdxfxdx由于000txTaTaaTafxdxftTdtftdtfxdx第四章定积分-113-所以0000aTTTaaafxdxfxdxfxdxfxdxfxdx例4.25.证明:22222220cos4sincosfxdxfxfx,f为任一非零可积函数。证明:I原式222022222cossincosxtftdtftft22222220coscoscosfxdxfxfx2222222220sincos22sincosfxfxIdxfxfx,所以4I。例4.26.证明:991902sin1101021xdxx证明:当01x时,成立2sinxxx,所以999992sin21xxxx,所以,成立99911199990002211010221xxdxxdxx例4.27.证明:000xxuxufudufxdxdu证明:000xxxddxufuduxfuduufududxdx00xxfuduxfxxfxfudu00000xxxxuxufudufududxCfxdxduC两边同时取00xC,所以原命题成立。第四章定积分-114-五、广义积分的敛散性定义:()lim()uaaufxdxfxdx存在有限基本结论:111papdxxp收敛,发散,(其中0a)复习时应着重掌握通过直接计算来研究广义积分的敛散性。例4.28.研究11(1)dxxx的敛散性解:111lim2lim1(1)uuuudxdxxxx12limarctan2lim(arctan)2()4242uuuxu所以,dxxx1)1(1是收敛的。例4.29.21,4kdx求k解:左边arctan()1222222kxkk,2k。例4.30.当k为何值时,广义积分2(ln)kdxxx收敛?当k为何值时,这个广义积分发散?又当k为何值时,广义积分取得最小值?解:当1k时,有11222(ln)(ln)(ln)11kkkdxxxxxkk1,1)2(ln1,1kkkk当1k,22)ln(lnln1xxx发散,即,当1k时,广义积分2)(lnkxxdx收敛;1k时,广义积分发散。第四章定积分-115-设1(ln2)()11kfxkk,则112(ln2)lnln2(1)(ln2)()(1)kkkfkk21)1(]12lnln)1[