信号与系统 课件 奥本海姆 第五章

第5章离散时间傅立叶变换TheDiscrete-TimeFourierTransform基本内容1.离散时间傅立叶变换；2.常用信号的离散时间傅立叶变换对;3.离散时间周期信号的傅立叶变换；4.傅立叶变换的性质；5.系统的频率响应与系统的频域分析方法；注释:CFS(TheContinuous-TimeFourierSeries):连续时间傅立叶级数DFS(TheDiscrete-TimeFourierSeries):离散时间傅立叶级数CTFT(TheContinuous-TimeFourierTransform):连续时间傅立叶变换DTFT(TheDiscrete-TimeFourierTransform):离散时间傅立叶变换5.0引言Introduction本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问题。DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数，其系数具有周期性。ka在采用相同方法研究如何从DFS引出离散时间非周期信号的频域描述时，可以看到，DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时存在一些重要的区别。抓住它们之间的相似之处并关注其差别，对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重要意义。5.1非周期信号的表示RepresentationofAperiodicSignals:TheDiscrete-timeFourierThransform一.从DFS到DTFT:在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时,我们看到：当信号周期增大时，频谱的包络形状不变，幅度减小，而频谱的谱线变密。Nkkk1220NN1240NN1210NNkNa因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频谱应该是一个连续的频谱。当时，有，将导致信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。N0(2/)0N从时域看，当周期信号的周期时，周期序列就变成了一个非周期的序列。N当时令2limjkNNkNaXeN，（）221(),()jknjknNNkkkNnNxnaeaxneN对周期信号由DFS有()xn2/2/2)(~1NNnknNjkenxNa即jXe（）说明:显然对是以2为周期的。DTFT()jjnnXexne（）有:kNjkeXNa2)(1当在一个周期范围内变化时，在范围变化，所以积分区间是。k0k22ka将其与表达式比较有00()(),,,,Nxnxnkd，当时于是:00000012()(),1()2jkjknkNjkjknkNxnXeeNNXee表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上分布的、幅度为的复指数分量的线性组合。deXj)(21DTFT对deeXnxnjj2)(21)(deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(结论：DTFT对deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(结论：DTFT对deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(离散、非周期连续、周期01()1jnjnjnXeaeae二.常用信号的离散时间傅立叶变换21()12cosjXeaa通常是复函数，用它的模和相位表示:()jXe1sin()tg1cosjaXea1.()(),1nxnauna01a10a)()1()(nuanuanxnncos211111)(220101aaaaeaeaeeaeaeaeaeXjjjnnjnnnjnnnjnnnjnj由图可以得到:时，高通特性,摆动指数衰减10axn（）时，低通特性,单调指数衰减01axn（）(),1nxnaa2.可以得出结论:实偶序列实偶函数111sin(21)2()sin2NjjnnNNXee1,()0,xn11NnNn3.矩形脉冲:当12N时，可得到:有同样的结论:实偶信号实偶函数1sin(21)1,sinkkNNaNkN两点比较:1.与对应的周期信号比较21()jkkNaXeN显然有关系成立1sin(21)2()sin2jNXe2.与对应的连续时间信号比较,0,1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如图所示:1)()(njnjenxeX)(n0n1)(jeX10如图所示:()()xnn4.三.DTFT的收敛问题当是无限长序列时，由于的表达式是无穷项级数，当然会存在收敛问题。)jXe（()xn收敛条件有两组：(),nxn)jXe（)jXe（2.则存在，且级数一致收敛于。)jXe（2(),nxn1.则级数以均方误差最小的准则收敛于。考察的收敛过程，如图所示：()n但随着的振荡频率变高，起伏的幅度趋小;,()WxnW当时，振荡与起伏将完全消失，不会出现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。由图可以得到以下结论:当以部分复指数分量之和近似信号时，也会出现起伏和振荡;5.2周期信号的DTFT002,jte（）对连续时间信号，有由此推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由于DTFT一定是以为周期的，因此，频域的冲激应该是周期性的冲激串，即2022kk（）对其做反变换有：TheFourierTransformforPeriodicSignals0()()2(2)jkkNlxnXeakl0022jnkke（）可见,002(),jknkkNxnaeN由DFS有()xn因此，周期信号可用DTFT表示为022001()()2()jjnjnjnxnXeededelNkkjlkNaeX)22(2)(NkkNkkNkkkNakNakNa)42(2)22(2)2(2101010)2(22)(22)2(2NkkNkkNkkNkNaNkNakNa（对L展开）12103122222()2()22()NNkkNkkNNkNkNakakNNakNkkkNa)2(2比较:可以看出与连续时间傅立叶变换中相应的形式是完全一致的。注意到也以为周期，于是有：kaNka()()xtxtTCFSCTFT02()kkakka[][]xnxnNDFSDTFT22()kkakN0001()cos(),2jnjnxnnee例1.它不一定是周期的。当02kN时才具有周期性。2j[]kNkNxnae112a112aka02202000022021/2如图所示:)(jeX0220200002202()如图所示:00()(2)(2)jkXekk0022jnkek（）ka02202000022021/2如图所示:)(jeX0220200002202()如图所示:NenNenxNanjkNnNnnjkk1)(1)(10010kjkNNeX)2(2)(N2N2)(jeXN20N4N4()()kxnnkN例2.比较:与连续时间情况下对应的相一致。均匀脉冲串)(nx1N0NN2N2n5.3离散时间傅立叶变换的性质DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有某些明显的差别。通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时域和频域特性之间的关系。一、周期性(periodic)：比较：这是与CTFT不同的。PropertiesoftheDiscrete-TimeFourierTransform(2)()()jjXeXe则若jxnXe（）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二.线性(linearity):三.时移与频移(shifiting):00()()()jnjxneXe()(),jxnXe若则00()()jnjxnnXee时移特性频移特性四.时域反转(reflaction):()()jxnXe若则()(),jxnXe五.共轭对称性(symmetryproperties):)()(),()(**jjeXnxeXnx若则由此可进一步得到以下结论:Re()Re()Im()Im()jjjjXeXeXeXe)()(),()(**jjjjeXeXeXeX即1.若)(nx是实信号，则)()(*nxnx()()()()jjjjXeXeXeXe2.若)(nx是实偶信号，则),()(nxnx*()()()()jxnxnxnXe()()(),jjjXeXeXe于是有:即是实偶函数。)(jeX*()(),()()xnxnxnxn3.若是实奇信号，)(nx()()(),jjjXeXeXe于是有:表明是虚奇函数。)(jeX()()()eoxnxnxn，4.若则有:说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。()Re()jexnXe()Im()joxnjXe0()(1)(1)()()()()(2)1jjjnjjkkxnxneXeXexkXeke六.差分与求和(DifferencingandAccumulation):）je1(说明:在DTFT中对应于CTFT中的。j1()(2)1jkunke例:()()nkunk()1n七.时域内插(Interplation):，0),/()(knxnxk定义为的整数倍其他nkn()()()jjnjrkkkknrXexnexrke()()jrkjkrxreXe()()jkkxnXe信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。dedXjnnxj)()(八.频域微分(DifferentioninFrequency):222)(21)(deXnxjn九.Parseval定理:2)(jeX称为的能量谱密度函数。)(nxNkkNnanxN22)(1比较:在DFS中有称为周期信号的功率谱。2ka5.4卷积特性(TheConvolutionProperty)()()*(),()()(),jjjynxnhnYeXeHe若则说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析的理论基础。即是系统的频率特性。()jHe()xn()()hnun()()*()ynxnun()