一类最值问题的判别式求法

一类最值问题的判别式求法涉及最值问题的题目知识面广，解决最值问题的方法多种多样，因此求解最值问题有一定难度.对于一类最值问题，若能结合题目的结构特征，通过巧设辅助元，构建一元二次方程，再利用判别式求解，不失为一种有效的解题方法.例1已知实数a，b，c满足a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中最大者的最小值.（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.分析由已知得b+c=2-a，bc=■，从而b，c是方程x2-（2-a）x+■=0的两根，再根据方程x2-（2-a）x+■=0的判别式来确定实数a的取值范围.解（1）不妨设a=max{a，b，c}.由题设得a0，b+c=2-a，bc=■.于是可知b，c是方程x2-（2-a）x+■=0的两根.因为b，c是实数，所以Δ≥0，即[-（2-a）]2-4?■≥0，整理得（a2+4）（a-4）≥0，即a≥4，可知a的最小值为4.又a=4，b=c=-1满足题意，故a，b，c中最大者的最小值为4.（2）由abc=4，可知a，b，c均为正数或者是一正二负.若a，b，c均为正数，由（1）可知a≥4，从而a+b+c4，这与已知条件矛盾.故a，b，c只能是一正二负.由对称性，不妨设a0，b0，c0，于是|a|+|b|+|c|=a-（b+c）=a-（2-a）=2a-2.由（1）可知a≥4，则2a-2≥2×4-2=6.所以|a|+|b|+|c|的最小值为6，且当a=4，b=c=-1时，|a|+|b|+|c|取到最小值.例2求函数y=■+■的最大值.分析若设u=■，v=■，则y=u+v，u2+v2=2，于是可以构造二次方程，从而求出函数y=■+■的最大值.解设u=■，v=■，则y=u+v，即v=y-u.①又由（■）2+（■）2=2，可知u2+v2=2.②将①代入②，得u2+（y-u）2=2，整理得2u2-2yu+y2-2=0.因为u是实数，所以Δ=（-2y）2-4×2（y2-2）=16-4y2≥0，可得-2≤y≤2.又u≥0，v≥0，则y≥0，即0≤y≤2.所以，函数y=■+■的最大值为2.例3已知正数x，y满足x+2y=1，求■+■的最小值.分析若设m=■+■，则x+y=mxy，再结合已知条件可以构建出关于y（或x）的方程，从而求得m的取值范围.解设m=■+■，则x+y=mxy.①由x+2y=1，得x=1-2y.②将②代入①，得1-2y+y=y（1-2y）m，整理得2my2-（1+m）y+1=0.③因为y是实数，所以Δ=[-（1+m）]2-8m≥0，得m≥3+2■或m≤3-2■.因为x0，y0，所以m0，则m≥3+2■.所以，■+■的最小值为3+2■.例4已知实数x，y满足x2+y2-2x+4y+4=0.（1）求x-2y的最大值和最小值.（2）求■的最大值和最小值.分析对于第（1）问，设x-2y=m，则x=2y+m，结合已知条件可以得到一个二次方程，再由判别式求得m的取值范围.对于第（2）问，设■=k，则y=kx-5k-1，结合已知条件可以得到一个二次方程，再由判别式求得k的取值范围.解（1）设x-2y=m，则x=2y+m.因为x2+y2-2x+4y+4=0，所以（2y+m）2+y2-2（2y+m）+4y+4=0，整理得5y2+4my+（m2-2m+4）=0.因为y是实数，所以Δ=（4m）2-4×5（m2-2m+4）=-4m2+40m-80≥0，得5-■≤m≤5+■，即5-■≤x-2y≤5+■.所以，x-2y的最大值为5+■，最小值为5-■.（2）设■=k，则y=kx-5k-1，将其代入x2+y2-2x+4y+4=0，得x2+（kx-5k-1）2-2x+4（kx-5k-1）+4=0，整理得（1+k2）x2-2（5k2-k+1）x+（5k-1）2=0.因为x是实数，所以Δ=[-2（5k2-k+1）]2-4（1+k2）（5k-1）2≥0，整理得15k2-8k≤0，解得0≤k≤■，即0≤■≤■.所以，■的最大值为■，最小值为0.例5如右图所示，在△ABC中，∠A=60°，BC=1，求AB+AC的最大值.分析由于图形本身的不确定性，所以直接确定AB+AC的最大值会有难度.若利用∠A=60°这一条件构造特殊的直角三角形，通过设未知数来建立方程，将几何问题转化为代数问题，则问题相对容易得到解决.解过点C作CD⊥AB，交线段AB于点D.设AD=x，则AC=2x，CD=■x，BD=■.令y=AB+AC，则y=AD+BD+AC=x+■+2x=3x+■.将y=3x+■整理成关于x的方程，得12x2-6yx+y2-1=0.因为已知△ABC存在，所以Δ=（-6y）2-4×12（y2-1）≥0，整理得y2≤4，解得-2≤y≤2，可知AB+AC≤2.所以，AB+AC的最大值为2.由上述例题可以看出，解决这类最值问题的关键在于抓住题目的结构特征，对问题深入研究，构建一元二次方程，巧妙地运用判别式，便可以使问题得到解决.（责任编校？筑冯琪）