用3.2.1直线的点斜式方程完稿

3.2.1直线的点斜式方程3.2直线的方程复习回顾平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2k1＝k2.垂直：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有l1⊥l2k1k2=-1.前提条件：不重合、都有斜率前提条件：都有斜率tan00,3tan30,3tan451,tan603,tan90tan1203,tan1351,3tan150.3不存在；特殊角的正切值1．直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式过点P(x0，y0)，且斜率为k斜率存在的直线y－y0＝k(x－x0)(2)由于点斜式方程是用点的坐标和斜率表示的，因而它只能表示斜率存在的直线，斜率不存在的直线是不能用点斜式方程来表示的．即点斜式不能表示与x轴垂直的直线；过点P0(x0，y0)且垂直于x轴的直线可以表示为x＝x0的形式．(3)点斜式方程可以表示平行于x轴的直线．过点P0(x0，y0)且平行于x轴的直线方程为y＝y0.特别地，x轴的方程为y＝0.温馨提示：(1)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝y－y0x－x0并不一致，前者是直线的点斜式方程，表示直线；而后者由于x≠x0，因此表示的直线不包括P0(x0，y0)，并不是一条完整的直线．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()．A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1练习C解:方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.答案C.2．斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________．3．过点(1，3)与x轴垂直的直线方程是________．解析∵直线与x轴垂直且过(1，3)，∴直线的方程为x＝1.答案x＝1y＝4x－11x＝1(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的_______．(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的_______．纵坐标b横坐标a2．直线l在坐标轴上的截距截距是直线与坐标轴交点的纵（或横）坐标，截距是一个数值，可正、可负、可为零．当截距非负时，它等于直线与y轴交点到原点的距离；当截距为负时，它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数；当截距为0时，直线过原点。温馨提示：3．直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距b斜率存在的直线(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特例，应用的前提也是直线的斜率存在．(2)斜截式方程与一次函数的解析式的区别：当斜率不为0时，y＝kx＋b即为一次函数；当斜率为0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．y＝kx＋b温馨提示：1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上截距分别等于()．A．2，3B．－3，－3C．－3，2D．2，－3练习D2．写出斜率为－2，且在y轴上的截距为t的直线的方程．当t为何值时，直线通过点(4，－3)?解由直线方程的斜截式，可得方程为y＝－2x＋t.将点(4，－3)代入方程y＝－2x＋t，得－3＝－2×4＋t，解得t＝5.故当t＝5时，直线通过点(4，－3)．由直线l的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可知，此直线l过定点(x0,y0);由直线l的斜截式方程y＝kx+b可知，此直线l过定点(0,b).直线过定点问题练习1.方程y=k（x+1）表示（）A．通过点（1，0）的所有直线B．通过点（-1，0）的所有直线C．通过点（-1，0）且不垂直于x轴的直线D．通过点（-1，0）且除去x轴的直线C探究点1斜率存在的直线一定有点斜式方程吗？答：一定有点斜式方程．互动探究探究点3斜率为k且过原点的直线的点斜式方程和斜截式方程有什么关系?答：相同．都是y＝kx的形式.探究点2若直线在x轴、y轴上的截距相同,这条直线的倾斜角是多少?答：当截距不为0时，倾斜角为135°；当截距为0时，倾斜角可以为任意角.题型一直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．分析：求出斜率，代入点斜式方程．解：(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0.(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程y－(－4)＝0×(x－3)，即y＝－4.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝－4－35－（－2）＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2，3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y－3＝－1×(x＋2)，即x＋y－1＝0.[规律方法]①求直线的点斜式方程关键是求出直线的斜率，若直线的斜率不存在时，直线没有点斜式方程．②求直线方程，最终结果都要化为一般式.1.过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________．2.已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________．练习x＋y－1＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.x＋4y－6＝0(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4x－34，由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－14.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－14(x－2)，即x＋4y－6＝0.例2求分别满足下列条件的直线l的方程：题型二直线的斜截式方程(1)与直线l1：y＝34x＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l1：y＝34x＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.(1)与直线l1：y＝34x＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l1：y＝34x＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.(1)与直线l1：y＝34x＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l1：y＝34x＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.(1)与直线l1：y＝34x＋1平行，且在两坐标轴上的截距之和为1.(2)与直线l1：y＝34x＋1垂直，且在两坐标轴上的截距之和为1.解(1)根据题意知直线l1的斜率k1＝34，∵l∥l1，∴直线l的斜率k＝34，设直线l的方程为y＝34x＋b，则令y＝0得它在x轴上的截距a＝－43b.∵a＋b＝－43b＋b＝－13b＝1，∴b＝－3.∴直线l的方程为y＝34x－3，即3x－4y－12＝0.(2)∵l2⊥l，∴直线l的斜率k＝－1k1＝－43.设直线l的方程为y＝－43x＋b′，则它在x轴上的截距a′＝34b′.∵a′＋b′＝34b′＋b′＝74b＝1，∴b′＝47.解(1)根据题意知直线l1的斜率k1＝34，∵l∥l1，∴直线l的斜率k＝34，设直线l的方程为y＝34x＋b，则令y＝0得它在x轴上的截距a＝－43b.∵a＋b＝－43b＋b＝－13b＝1，∴b＝－3.∴直线l的方程为y＝34x－3，即3x－4y－12＝0.(2)∵l2⊥l，∴直线l的斜率k＝－1k1＝－43.设直线l的方程为y＝－43x＋b′，则它在x轴上的截距a′＝34b′.∵a′＋b′＝34b′＋b′＝74b＝1，∴b′＝47.解(1)根据题意知直线l1的斜率k1＝34，∵l∥l1，∴直线l的斜率k＝34，设直线l的方程为y＝34x＋b，则令y＝0得它在x轴上的截距a＝－43b.∵a＋b＝－43b＋b＝－13b＝1，∴b＝－3.∴直线l的方程为y＝34x－3，即3x－4y－12＝0.(2)∵l2⊥l，∴直线l的斜率k＝－1k1＝－43.设直线l的方程为y＝－43x＋b′，则它在x轴上的截距a′＝34b′.∵a′＋b′＝34b′＋b′＝74b＝1，∴b′＝47.解(1)根据题意知直线l1的斜率k1＝34，∵l∥l1，∴直线l的斜率k＝34，设直线l的方程为y＝34x＋b，则令y＝0得它在x轴上的截距a＝－43b.∵a＋b＝－43b＋b＝－13b＝1，∴b＝－3.∴直线l的方程为y＝34x－3，即3x－4y－12＝0.(2)∵l2⊥l，∴直线l的斜率k＝－1k1＝－43.设直线l的方程为y＝－43x＋b′，则它在x轴上的截距a′＝34b′.∵a′＋b′＝34b′＋b′＝74b＝1，∴b′＝47.解(1)根据题意知直线l1的斜率k1＝34，∵l∥l1，∴直线l的斜率k＝34，设直线l的方程为