柱锥台的体积

空间几何体的体积3.上底面半径为r'，下底面半径为r，母线长为l的圆台的表面积为_________________________复习回顾1.底面半径为r，母线长为l的圆柱的表面积为______________2.底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积为______________222rrl2rrl1、原理(书P30）两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(2)祖暅原理：(1)取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，观察改变前后的体积是否发生变化？ShSS棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）应该具有相等的体积。h一.柱体的体积底面积相等，高也相等的柱体的体积也相等。V柱=shV圆柱=πr2h若长方体的所有棱长之和为24，⑴求长方体体积的最大值⑵求长方体表面积的最大值解：设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则4(a+b+c)=24即a+b+c=8⑴V=abc≤33cba=8当且仅当a＝b＝c＝2是取等号AA1C1ABA1CA1B1CBCA1C1B1CCABACABCAVV11BBACV11CBBABBACVV1111BCCAV113、锥体(棱锥、圆锥)的体积：13VSh锥体【问题】等底同高的锥体的体积有何关系?hrV231圆锥已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD，∠BCD＝∠ACD＝90º，BC＝4，AB＝CD＝3，求点B到面ACD的距离。ABCDhB433等体积法BCDAACDBVV3432131532131Bh求棱长为的正四面体的体积a2ABCDOaaBO3622332aaaAO33236222aaV33224331233a求棱长为的正四面体的体积a2三棱锥正方体VVV4aaaa21314333a体积分割法4、台体（棱台、圆台）的体积1()3VhSSSS台体已知A、B是三棱柱上底面两边的中点，如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求这两部分的体积比。ABCDV1V2设△ABE的面积为SE)44(311SSSShVShShShV353742Sh375:7:21VVV台体=1h(s+ss'+s')3V柱体=shV锥体=1sh3ss/ss/sS/=0S/=S想一想？上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系。那么，这里柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？例2.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台的体积是多少？(结果中保留π)ACOOO1A110010'2S400202S310)1020(3h)''(31SSSShV台体337000)100200400(31031(cm3)例：1.求棱长为2的正四面体的体积。ABCD2.已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱长为3求这个正六棱柱的体积。3.已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为3求这个正六棱锥的体积。5.如图几何体为一个正六棱柱中间挖去一个圆柱。若底面正六边形的边长4cm，高3cm，圆柱的底面直径为2cm。求这个几何体的体积.例1.有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重5.8kg．已知底面六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm．那么约有毛坯多少个？(铁的比重为7.8g/cm3)分析：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积与一个圆柱的体积的差，再由比重算出一个六角螺帽毛坯的体积即可．解.V正六棱柱=V=3.74×103-0.785×103≈2.96×103（mm3）=2.96cm3一个毛坯的体积为约有毛坯5.8×103÷（2.96×7.8)≈251(个)答．这堆毛坯约有251个.数学运用2333126103.7410()4mmV圆柱=2335100.78510()mm例7.三棱台ABC-A1B1C1中,AB:A1B1=1:2，则三棱锥A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的体积之比为()A.1:1:1;B.1:1:2;C.1:2:4;D.1:4:4说明：三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积相加求得三棱柱和三棱台的体积。在立体几何中，割补法是一种非常重要的方法。A1CBAB1C1例4、如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）（A）32（B）33（C）34（D）23AG2、已知长方体相邻三个面的面积分别为2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别为________。练习1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边分别为a,b的直角三角形，高为c，则它的体积为________。3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长为2cm，这个棱台的体积为________。练习4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线长为5,则这个圆锥的体积为_________。例2、正四面体S-ABC的棱长为a,D是SA的中点,E是BC的中点,求三角形SDE绕SE旋转一周所得旋转体的体积.SCBADEF例3、一扇形铁皮AOB,半径OA=72cm,圆心角AOB=600,现剪下一个扇环ABCD作圆台形容器的侧面,并从剩余的扇形COD内剪下一个最大的圆,刚好做容器的下底(圆台下底面大于上底面),则OC应取多少?并求这个容器的容积.例4、如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且BCFADE、均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）（A）32（B）33（C）34（D）23AG•例5、一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水，使水高为圆锥高的二分之一，则倒转容器后，水的高度是多少？常见结论正四面体的棱长为a,则它的高为体积为内切球半径为外接球半径为63a3212a612a64a例2．在长方体AC1中,用截面截下一个棱锥C-A1DD1，求C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比．数学运用A1D1C1B1BCDA课堂练习1、在△ABC中，AB=2，AC=1.5，∠BAC=1200.若将△ABC绕直线AC旋转一周，求形成的旋转体的体积．2.用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积。3.已知一个铜质的五棱柱底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少（不计损耗）？4.若一个六棱锥的高为10cm，底面是边长为6cm的正六边形，求这个六棱锥的体积．5.一个正四棱台形油槽可以装煤油190升,假如它的上、下底边长分别等于60cm和40cm，求它的深度．课堂练习小结：１．柱体的体积公式２．锥体的体积公式３．台体的体积公式４．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系及其应用作业课本第60页第2、5、9、10题．空间几何体的体积公式hSV底hS31V底hSSS(S31V）下下上上柱体台体锥体球3R34V球的表面积公式Ｓ＝4πR2四课堂小结所给的是非规范(或条件比较分散的规范的)几何体时,通过对图象的割补或体积变换,化为与已知条件直接联系的规范几何体,并作体积的加、减法。当按所给图象的方位不便计算时,可选择条件较集中的面作底面,以便计算底面积和高.所给的是规范几何体,且已知条件较集中时,就按所给图象的方位用公式直接计算体积.直接法割补法求体积的常用方法等体积法