高中数学-频率与概率-教案

1高中数学频率与概率教案教学分析概率是描述随机事件发生可能性大小的量度，它已渗透到人们的日常生活中，例如：彩票的中奖率，产品的合格率，天气预报、台风预报等都离不开概率．概率的准确含义是什么呢？我们用什么样的方法获取随机事件的概率，从而激发学生学习概率的兴趣？本节课通过学生亲自动手试验，让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性，通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，是新课标理念的具体实施．三维目标1．通过获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，正确理解事件A出现的频率的意义；真正做到在探索中学习，在探索中提高．2．通过数学活动，即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念，明确事件A发生的频率fn(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系，体会数学知识与现实世界的联系．重点难点教学重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．2．正确理解概率的意义．教学难点：1.对概率含义的正确理解．2．理解频率与概率的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的．例如，掷一次硬币，正面是否朝上？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票中奖的可能性有多大？等等．尽管没有确切的答案，但其结果却呈现某种规律性，这就是下面我们将要学习的随机事件的概率．教师板书课题：随机事件的概率．思路2.1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力．这句话有一个非同寻常的来历．1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额．为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性．一定数量的船(为100艘)编队规模越小，编次就越多(为每次20艘，就要有5个编次)，编次越多，与敌人相遇的概率就越大．美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口．结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应．2在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象．如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在一定的条件下，它所出现的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在一定的条件下，出现哪种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象．随机现象是我们研究概率的基础，为此我们学习随机事件的概率．推进新课新知探究提出问题1．什么是必然事件？请举例说明．2．什么是不可能事件？请举例说明．3．什么是确定事件？请举例说明．4．什么是随机事件？请举例说明．5．什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？6．频率与概率的区别与联系有哪些？活动：学生积极思考，教师引导学生考虑问题的思路，结合实际的情形分析研究．(1)导体通电时发热；抛一块石头，石头会落回地面；“如果a＞b，那么a－b＞0”；这三个事件是一定要发生的．但注意到有一定的条件．(2)在常温下，锡熔化；在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；“没有水，种子能发芽”．这三个事件是一定不发生的．但注意到有一定的条件．(3)抛一块石头，石头会落回地面；“如果a＞b，那么a－b＞0”；在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；“没有水，种子能发芽”．这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的，是确定的，不是模棱两可的．(4)掷一枚硬币，出现正面；某人射击一次，中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”．这四个事件在一定的条件下或者发生或者不发生，是模棱两可的．(5)做抛掷一枚硬币的试验，观察它落地时哪一个面朝上．通过学生亲自动手试验，突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”．通过试验，观察随机事件发生的频率，可以发现随着试验次数的增加，频率稳定在某个常数附近，然后再给出概率的定义．在这个过程中，重视了掌握知识的过程，体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法，也体现了新课标的理念．具体如下：第一步每个人各取一枚硬币，做10次掷硬币试验，记录正面向上的次数和比例，填在下表中：姓名试验次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考试验结果与其他同学比较，你的结果和他们一致吗？为什么？第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下，填入下表．组次试验总次数正面朝上总次数正面朝上的比例思考与其他小组试验结果比较，正面朝上的比例一致吗？为什么？通过学生的试验，比较他们的试验结果，让他们发现每个人试验的结果、组与组之间试验的结果不完全相同，从而说明试验结果的随机性，但组与组之间的3差别会比学生与学生之间的差别小，小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为试验结果，仅取两个值：1(正面)和0(反面)，纵轴为试验结果出现的频率，画出你个人和所在小组的条形图，并进行比较，发现什么？第四步把全班试验结果收集起来，也用条形图表示．思考这个条形图有什么特点？引导学生在每组试验结果的基础上统计全班的试验结果，一般情况下，班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5，从而让学生体会随着试验次数的增加，频率会稳定在0.5附近．并把试验结果用条形图表示，这样既直观易懂，又可以与前面《统计》的内容相呼应，达到温故而知新的目的．第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性．思考如果同学们重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律，并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近．由特殊事件转到一般事件，得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着次数的增加，事件A发生的频率会逐渐稳定在区间[0,1]中的某个常数上，从而得出频率、概率的定义，以及它们的关系．一般情况下重复一次上面的试验，全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的，这更说明随机事件的随机性．进一步总结事件的频数与频率，概括出概率的概念．(6)通过(5)的概括和总结写出频率与概率的区别与联系．讨论结果：1.必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件(certainevent)，简称必然事件．2．不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件(impossibleevent)，简称不可能事件．3．确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件．4．随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件(randomevent)，简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件，用A，B，C，…表示．5．频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数(frequency)；称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率(relativefrequency)；对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率(probability)．6．频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值nAn，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小．我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．4频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．在实际问题中，通常事件的概率未知，常用频率作为它的估计值．频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．比如，一个硬币是质地均匀的，则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5，与做多少次试验无关．应用示例思路1例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．(1)“在标准大气压下，水在100℃沸腾”；(2)“技术发达后，不需要任何能量的‘永动机’将会出现”；(3)“一个射击运动员每次射击都击中”；(4)“太阳从东方升起”；(5)“北京2月3日下雪”；(6)“同性电荷相互排斥”；(7)“某路口单位时间内发生交通事故的次数”；(8)“购买一张彩票中奖”；(9)“在一个三角形中，大边对的角小，小边对的角大”；(10)“冰水混合物的温度是1℃”．分析：学生针对有关概念，思考讨论，教师及时指点，为后续学习打下基础．根据自然界的规律和日常生活的经验积累，根据定义，可判断事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．答案：事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件．点评：紧扣各类事件的定义，结合实际来判断．例2某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率mn(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？分析：学生回顾所学概念，教师引导学生思考问题的思路，指出事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率．解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89.点评：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之.变式训练一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：时间范围1年内2年内3年内4年内5新生婴儿数554496071352017190男婴数2883497069948892男婴出生的频率(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位)．(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？答案：(1)0.5200.5170.5170.517(2)由表中的已知数据及公式fn(A)＝nAn即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.思路2例1做掷一枚骰子的试验，观察试验结果．(1)试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出．(2)做60次试验，每种结果出现的频数、频率各是多少？分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况，因为每一枚骰子有六个面，每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6，所以应出现六种结果，试验结果可列表求之．解：(1)试验可能出现的结果有六种，分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点．(2)根据试验结果列表后求出频数、频率，表略．例2某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多少？中10环的概率约为多少？分析：学生先思考或讨论，教师提示学生注意结果的可能情况，中靶的频数为9，试验次数为10，所以中靶的频率为910＝0.9.所以中靶的概率约为0.9.解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2.知能训练1．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件．(1)某地1月1日刮西北风；(2)当x是实数时，x2≥0；(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；(4)