答案-数列通项公式和求和的基本方法与技巧

1数列通项公式的求法一求数列通项公式na常用方法数列满足的递推公式方法由nS求nanS)(1nfaann（如naann21）累加法)(1nfaann（如nnnaa21）累乘法pqaann1（如121nnaa）构造数列na为公比q的等比数列11nnnpaaa（如1211nnnaaa）取倒数，构造数列na1为等差数列nnnqpaa1（如nnnaa221）在原递推等式两边同除nq，构造数列nnnqab，再进一步解决。注意：选择用哪一种方法求通项公式，关键是看已知条件数列满足的递推公式。有时要用上两种以上方法才可以求解。二.观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21三.公式法例2.等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12，则数列的通项公式是（）(A)122nan(B)42nan(C)122nan(D)102nan三.由nS求na：11nnnSSSa)2()1(nn例3.已知数列}{na的前n项和，求na（1）212nnSn;（2）nnS22例4.若数列}{na的前n项和323nnaS，求该数列的通项公式。已知数列na中，6,121aa，，其前n项和nS满足)3(23212nSSSnnnn求数列na的通项公式；例8、已知等差数列}{na的公差d=1，且1a，3a，9a成等比数列。（1）求}{na的通项公式；（2）求23741naaaa例5.已知正项数列na，其前n项和nS满足21056,nnnSaa且1215,,aaa成等比数列，求数列na的通项.na例6定义运算符号：“”，这个符号表示若干个数相乘，例如,可将1×2×3×…×n记作*1()niinN，记niinaT，其中ia为数列*{}()nanN中的第i项．若2*2()nTnnN，则na＝．设数列na满足211233333nnnaaaa…，a*N．求数列na的通项；例7.数列}{na的前n项和记为Sn，已知).3,2,1(2,111nSnnaann证明：（Ⅰ）数列}{nSn是等比数列；（Ⅱ）.41nnaS3四.形如)(1nfaann型（累加法）（1）若f(n)为常数,即：daann1,此时数列为等差数列，则na=dna)1(1.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法.例7.已知数列｛an｝满足)2(3,1111naaannn,写出数列na的通项公式.练习：1、已知数列na的首项为1，且*12()nnaannN，写出数列na的通项公式.2、已知数列na满足,211,111nnnaaann写出该数列的一个通项公式例8数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,证明（Ⅰ）数列}{1nnaa是等比数列；（Ⅱ）数列{an}的通项公式。419.已知数列{}na满足11a，,(2*1Nnaannn为常数，且1a，22a，3a成等差数列.（1）求的值；（2）求数列{}na的通项公式；（3）设数列{}nb满足23nnnba，求证：169nb.19.(1)∵1a，2+2a，3a成等差数列，∴2132+2=+aaa（1）∵+1=+2nnnaanN，那么21=+2aa（2）32=+4aa（3）将（2），（3）代入（1），得21221112+4=++4+4=+4+2+4=+42+4=42=4=2aaaaaaa∴将=2代入+1=+2nnnaa，得+1+1=+2nnnaa，即+1+12nnnaa22133244312222nnnaaaaaaaa以上列等式的左边叠加得21324311nnnaaaaaaaaaa以上列等式的右边叠加得21234121222222412nnn即1124nnaa，又∵11a，∴1112423nnnaa检验知111231a也成立，故通项公式为1112423nnnaa（2）∵22211032332nnnnnnnba22221111111222222111222221111111222nnnnnnnnnbnbnnnnnnn∵21112n在nN上单调递减，5且当2n时，211112n，即11nnbb，∴123bbb当3n时，211112n，即11nnbb，∴345bbb可知数列nb中3b为最大项，而233139162b，∴916nb五.形如)(1nfaann型（累乘法）（1）当f(n)为常数，即：qaann1（其中q是不为0的常数），此数列为等比且na=11nqa.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法.例8.在数列}{na中111,1nnannaa)2(n，求数列的通项公式。练习：1、已知*11)(,1Nnaanaannn,求数列na通项公式。2、求数列)2(1232,111nannaann的通项公式。6六.形如srapaannn11型（取倒数法）例9.已知数列na中，21a，)2(1211naaannn，求通项公式na2、若数列}{na中，11a，112nnnnaaaa，求通项公式na.七．形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（构造新的等比数列）若01且dc时，数列{na}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设)(1nnaca,利用待定系数法求出。例10．已知数列}{na中，,2121,211nnaaa求通项na.2、若数列}{na中，11a,1321nnaa,求通项公式na。八.形如nnnqpaa1型（构造新的等比数列）方法1：可构造等比数列1nnqa是常数，可以用待定系数法确定常数。方法2：两边同除以1nq.即：qqaqpqannnn111,令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型七来解，例。已知数列na满足111,33nnnaaa，（1）证明数列{nna3}是等差数列；（2）求na的通项公式；7练习：已知数列na满足nnnaaa32,111，求na；九.形如11nnnqapaa(其中p,q为常数)型，可构造等比数列是常数）(1nnaa例13.数列{}na中，若2,821aa,且满足03412nnnaaa,求na.8数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和（定义法）利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn例1等比数列na中，（1）若.,8,7321321naaaaaaa求（2）,29,2333Sa求na及前n项的和nS。（用两种方法求公比q）例求和：nxxxx32练习1.有穷数列na，nS为其前n项和，定义nSSSSTnn321为数列na的“凯森和”，如果有99项的数列99321,,,,aaaa的“凯森和”为1000，则有100项的数列1，99321,,,aaaa的“凯森和”100T.二、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan（2）)121121(21)12)(12(1nnnnan（3）21nn（4）)12)(12(211nnnna=___________________（5）nnnnan111;（6）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan例2、求和：（1）n321132112111。9例3等差数列na各项均为正整数，,31a前n项和为nS，等比数列nb中，11b，且nabSb,6422是公比为64的等比数列。（1）求na与nb；（2）证明：.431.......1121nSSS练习.A组题1.求数列,11,,321,211nn的前n项和。2.已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令bn＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.B组题3数列na的各项均为正数，nS为为其前n项和，对于任意*Nn,总有2,,nnnaSa成等差数列。（1）求数列na的通项公式；（2）设数列nb的前n项和为nT，且21nnab.求证：对任意的正整数n，总有2nT。4.若{}na的前n项和为nS，点),(nSn均在函数y＝xx21232的图像上．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，求使得20nmT对所有nN都成立的10最小正整数m．C组题5已知数列na中，13a，25a，其前n项和nS满足121223nnnnSSSn≥，令11nnnbaa．（1）求数列na的通项公式；（2）若12xfx，求证：121126nnTbfbfbfn（1n≥）．三、绝对值求和例4设数列na的通项公式为,72*Nnnan（1）求2021aaa。。。;(2)求naaa。。。21四、分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。【例如：数列nnnbaC，其中数列na的等比数列，数列nb是等差数列（如：nCnn2）】例5.已知等比数列na的前n项和为nS，11a，且1S，22S，33S成等差数列.11（1）求数列{}na通项公式；（2）设nnban，求数列nb前n项和nT．（3）设nnanc，求数列nc前n项和nH练习1.求11111111111个n之和2.123(235)(435)(635)...(235)nnSn；五．错位相减求和法数列nnnbaC，其中数列na的等比数列，数列nb是等差数列，（如：nnnC2）正确实施错位相减法的步骤与注意事项①先写通项公式型如nnnnabac(,是等差数列，nb是等比数列,公比为q）②再列方程组113221112211.......nnnnnnnnnnbabababaqSbabababaS，共写四项，错位排列！③实施相减，合并同类项，注意最后一项为负数!④部分等比数列求和，注意项数!整理求出Sn。例6．设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1.(1)求数列{an}的通项公式；(