斐波那契数列及其应用

聊城大学本科生毕业论文题目：斐波那契数列及其应用专业代码：070101作者姓名：学号：单位：指导教师：年月日1目录前言...................................................................................................11．斐波那契数列.............................................................................11.1斐波那契.………………………………………..………………....…...11.2斐波那契数列的引入……………………………………..….…...……11.3斐波那契数列通项公式的若干推导……..………………….…...……21.4斐波那契数列性质及其简单证.....……..…………………….…...……91.5人体中与斐波那契数列有关的知识...…………………..….…………102.斐波那契数列与黄金分割...................................................................112.1何为黄金分割与黄金分割数..………………..……………………..…112．2二者之间的联系..………………………………………………………122．3黄金分割律在股市中的运用.....……………………………………….123.斐波那契数列在生活中应用....……….....………………….………133．1斐波那契数列在几何上的应用......……………………………………133．2斐波那契数列在生物学上的应用..........………………………………143．3斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用..............………………15结论.........……………………………………………….…………16参考文献.............…………………………………….……………17致谢…………….....................…………………………….………181摘要斐波那契数列自问世以来,不断显示出它在数学理论和应用上的重要作用。而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、生物、交通、化学等领域都有直接的应用．这个数列既是数学美的完美体现．又与许多数学概念有着密切的联系，很多看上去似乎彼此独立的数学概念，通过斐波那契数列，人们发现了其中的数学联系．从而进一步激发了人们探索数学的兴趣．对数学的认知更加系统化。因此对斐波那契数列的研究是一项非常重要的研究，它不仅能给各个学科带来很好的用处，它也会对我们的生活产生长远的影响，斐波那契数列的前景是不可估量的。关键词：斐波那契数列;黄金分割;斐波那契数列在生活中的应用2AbstractFibonaccisequencesinceitsadvent,continuouslydemonstrateditsimportantroleinmathematicaltheoryandapplications.AndFibonaccislopeissatisfiedthatleaseseriesinmodernphysical,andquasicrystalstructure,andbio,andtraffic,andchemical,areaarehasdirectlyofapplication.thisseriesismathematicsusofperfectreflected.andandmanymathematicsconcepthascloseofcontact,manylooksseemstoeachotherindependentofmathematicsconcept,byFibonacciwavethatleaseseries,peoplefoundhaswhichofmathematicscontact.tofurtherfiredhaspeopleexplorationmathematicsofinterest.onmathematicsofcognitivemoresystematic.OnthestudyoftheFibonaccisequenceisaveryimportantstudy,itcanbringtoalldisciplinesverywellnotonlyuseful,itwillhavealong-termimpactonourlivesandprospectsoftheFibonaccisequenceareincalculable.Keywords:FibonacciseriesThegoldensectionApplicationoftheFibonaccisequenceinthelife1斐波那契数列及其应用前言大到整个宇宙空间到小到分子原子，从时间到空间，从自然到人类社会，政治、经济、军事等，各种现象中的规律都能找到斐波那契数的踪迹,斐波那契数列还是数学中的一种重要的特殊数列,在生产生活中有着重要的应用.本文通过具体的例题对斐波那契数列的性质及其应用作了详细探讨和分析.1．斐波那契数列1．1斐波那契数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，）是斐波那契数列的发明者。籍贯大概是比萨，因此，他被人称作“比萨的列昂纳多”。他于1202年，撰写了《珠算原理》（LiberAbacci）一书。据史料记载，他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他早年随父在北非从师阿拉伯人习算，后又游历地中海沿岸诸国，回意大利后即写成《算经》（LiberAbac·1202，亦译作《算盘书》）。《算经》最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌。斐波那契其他数学著作还有《平方数书》（VLiberQuadratorum，1225）、《花朵》（Flos，1225）等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞赛问题，其中包含一个三次方程/十2x2十10x～－20求解，斐波那契论证其根不能用尺规作出（即不可能是欧几里得的无理量），他还未加说明地给出了该方程的近似解（J一1．36880810785）。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。1.2斐波那契数列的引入------兔子问题斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。2一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对两个月后，生下一对小兔对数共有两对三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对依次类推可以列出下表：经过月数0123456789101112幼仔对数101123581321345589成兔对数01123581321345589144总体对数1123581321345589144233幼仔对数=前月成兔对数成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在算盘全书中提出的，称为斐波那契数列．这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。所以斐波那契数列的定义为：数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。;错误!未找到引用源。则称此数列为斐波那契（Fibonacci）数列很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。它的通项公式为：1.3斐波那契数列通项公式的若干推导方法推导方法1先求满足递推关系错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。的等比数列错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。。于是（1）变形为错误!未找到引用源。整理为错误!未找到引用源。用求根公式可解得3可见，满足条件（1）的等比数列有两个公比错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。如果等比数列错误!未找到引用源。满足条件错误!未找到引用源。则公比为1，即不等于错误!未找到引用源。，因此不可能满足条件（1）。但是，如果将满足条件（1）的两个等比数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。逐项相加得到数列错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。（2）则数列（2）仍满足条件（1），如果能适当选择a，b使错误!未找到引用源。即错误!未找到引用源。（3）则错误!未找到引用源。就符合斐波那契数列错误!未找到引用源。所满足的所有条件。容易看出，满足条件的斐波那契数列错误!未找到引用源。是唯一的。因此满足条件（3）的a，b决定的数列（2）就是所求的斐波那契数列。由于错误!未找到引用源。,所以可以将条件（3）看成以a，b为未知数的二元一次方程组，解之得a=错误!未找到引用源。，b=错误!未找到引用源。从而错误!未找到引用源。.又由于错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。.所以这里得到了斐波那契数列的通项公式推导方法1的关键是：满足条件（1）的两个等比数列错误!未找到引用源。仍满足条件（1）（错误!未找到引用源。一般不再是等比数列），适当选择错误!4未找到引用源。的前两项都等于1。推导方法2初等代数法已知错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。首先，构建等比数列设错误!未找到引用源。化简得与式（1）比较系数可得：不妨设错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。所以有错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。为等比数列。求出等比数列错误!未找到引用源。由以上可得：错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。变形得：错误!未找到引用源。。令错误!未找到引用源。求数列错误!未找到引用源。进而得到错误!未找到引用源。设错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。。故数列错误!未找到引用源。为等比数列即错误!未找到引用源。。而错误!未找到引用源。，故有5又有错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。得出错误!未找到引用源。表达式至此，我们就推导出了斐波那契数列的通项公式。推导方法3大家都知道斐波那契数列的性质是从第三项开始，后面每一项是前面两项的和，即数列要满足式（1）的条件，而式（1）属于线性递归数列，此数列有其一般的表达式为：式（4）变形为：6由于错误!未找到引用源。因此：781.4斐波那契数列性质及其简单证明性质1错误!未找到引用源。性质2错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。性质3错误!未找到引用源。性质4错误!未找到引用源。性质5错误!未找到引用源。性质6错误!未找到引用源。其中，n都从0开始取。性质1的证明：（用数学归纳法）（1）当n=1时，左边=错误!未找到引用源。=1，右边=错误!未找到引用源。,所以左边=右边。即n=1时，等式成立。（2）假设n=k时，等式成立。即有错误!未找到引用源。则当n=k+1时，错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。即n=k+1，等式也成立综合（1）（2），对于所有正整数，错误!未找到引用源。均成立。9证必。其他的性质，都可以利用数学归纳法，类似证明，此处不再赘述。1.5人体中与斐波那契数列有关的知识人的身体的各种比例也暗合斐波那契数列，这从另一个方面说明了斐波那契数列的奇妙经过长期的数据统计，人们发现了一个很有趣的现象。人体各个地方的比例好多都符合黄金分割比或其倒数：腰以下长度/身高=0.618腰以上长度/腰以下长度=0.618颈至腰长度/腰以上长度=0.618颈以上长度/颈至腰长度=0.618身高/腰以下长度=1.618腰以下长度/腰以上长度=1.618腰以上长度/颈至腰