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12§4.1平面弯曲的概念及梁的计算简图§4.2梁的剪力和弯矩§4.3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§4.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用§4.5按叠加原理作内力图§4.6平面刚架和曲杆的内力图弯曲内力习题课第4章弯曲内力（INTERNALFORCESINBENDING）第4章弯曲内力（INTERNALFORCESINBENDING）3§4.1平面弯曲的概念及梁的计算简图§4.1平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念1.弯曲（Bending）:杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢的作用时，轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。2.梁（Beam）：以弯曲变形为主的构件通常称为梁。43.工程实例564.平面弯曲（Planarbending）：杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内。对称弯曲（Symmetricbending）（如下图）——平面弯曲的特例。纵向对称面MF1F2q7非对称弯曲——若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。8二、梁的计算简图梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1.构件本身的简化通常取梁的轴线来代替梁。2.载荷简化作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：集中力、集中力偶和分布载荷。3.支座简化9①固定铰支座（Fixedhingedsupport）2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。②可动铰支座（Movablehingedsupport）1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。10③固定端（Rigidlyfixedend）3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。FAxFAyMA4.梁的三种基本形式①简支梁（Simplysupportedbeam）M—集中力偶q(x)—分布力②悬臂梁（Cantileverbeam）11③外伸梁（Overhangingbeam）—集中力Fq—均布力5.静定梁与超静定梁（Staticallydeterminateandstaticallyindeterminatebeams）静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。12§4.2梁的剪力和弯矩§4.2梁的剪力和弯矩一、弯曲内力：[例1]已知：如图，F，a，l。求：距A端x处截面上内力。FaFlFAyFAxFBABAB解：①求支座反力lalFFFlFaFMFFAyyBAAxx)(,0,00,0−=∴==∴==∴=∑∑∑13ABFFAyFAxFBmmx②求内力——截面法xFMMlalFFFFAyCAyy⋅=∴=−==∴=∑∑,0)(,0sAFAyFsMFBFMFs∴弯曲构件内力剪力弯矩1.弯矩（Bendingmoment）：M构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。CC142.剪力（Shearingforce）：Fs构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3.内力的正负规定:①剪力Fs:绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。②弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。Fs(+)Fs(–)Fs(–)Fs(+)M(+)M(+)M(–)M(–)15[例2]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。xyqlFFqlFy−=∴=+=∑s11s0解：截面法求内力。1--1截面处截取的分离体如图（b）示。图（a）11110)(qlxMMqlxFMiA−=∴=+=∑二、例题qqlab1122qlFs1AM1图（b）x116)((222sbaxal)axqF+≤≤−−=∴axqMqlxFMiB0)(21,0)(2222=−−+=∑2--2截面处截取的分离体如图（c）axqFqlFy0)(22s=−−+=∑)()(2122222baxaqlxaxqM+≤≤−−=xy图（a）qqlab1122qlFs2BM2x2图（c）171.内力方程（Internal-forceequations）：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。2.剪力图和弯矩图：)(xFsFs=剪力方程（Shearingforceequation）)(xMM=弯矩方程（Bendingmomentequation）)(xFsFs=剪力图的图线表示)(xMM=弯矩图的图线表示§4.3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图§4.3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图18[例3]求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。PFxFOy==)(s解：①求支反力)()(lxPMxFxMOOy−=−=②写出内力方程PlMPFOOy==;PFOyl③根据方程画内力图M(x)xFs(x)Fs(x)M(x)xxP–PlMO19解：①写出内力方程②根据方程画内力图qxxF−=)(s221qx)x(M−=LqM(x)xFs(x)Fs(x)x–qlM(x)x22ql−20)3(6)(220sxllqxF−=②内力方程解：①求支反力3;600lqFlqFBA==q0FA③根据方程画内力图FBl)(6)(220xllxqxM−=620lql33Fs(x)x320lqxM(x)27320lq21一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系对dx段进行平衡分析，有：[]0)(d)(d)()(0sss=+−+=∑xFxFxxqxFFy)(dd)(sxFxxq=§4.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用§4.4剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用dxxq(x)q(x)Fs(x)+dFs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)M(x)dxAy()()xqxxF=dds剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。22q(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x)Fs(x)M(x)dxAy0)](d)([)())(d(21)d(,0)(2s=+−++=∑xMxMxMxxqxxFFMiA)(d)(dsxFxxM=弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM=弯矩与荷载集度的关系是：23二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0Fs图特征M图特征CFCM水平直线xFsFs0FsFs0x斜直线增函数xFsxFs降函数xFsCFs1Fs2Fs1–Fs2=F自左向右突变xFsC无变化斜直线曲线自左向右折角自左向右突变xM盆状xM山状折向与F反向xM与M反MxM1M2MMM=−21xM增函数xM降函数24简易作图法:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。[例4]用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解:利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqA25223;0sqaMF−==0;s=−=MqaF2;sqaMqaF−=−=223;0sqaMF−==aaqaqA线形：根据左端点：)(d)(dsxFxxM=)(d)(d22xqxxM=；()()xqxxF=dds；及集中载荷点的规律确定。分区点A：M的驻点：右端点：Fsxqa–223qa–xqa2M26[例5]用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力↑=↓=2;2qaFqaFDA0;2s=−=MqaF左端点A：221;2sqaMqaF−=−=B点左：221;2sqaMqaF−==B点右：221;2sqaMqaF−=−=M的驻点：C点左：283;0sqaMF−==221;2sqaMqaF=−=C点右：0;21s=−=MqaF右端点D：qqa2qaFAFDFsxqa/2qa/2qa/2––+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8–+27§4.5按叠加原理作内力图§4.5按叠加原理作内力图一、叠加原理（Theoremofsuperposition）：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。)()()()(s22s11s21snnnFFFFFFFFFF+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅)()()()(221121nnnFMFMFMFFFM+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅适用条件：所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即在弹性限度内满足虎克定律。28二、材料力学构件小变形、线性范围内必遵守此原理——叠加方法步骤：①分别作出各项荷载单独作用下梁的内力图；②将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）。29[例6]按叠加原理作弯矩图(AB=2a，力F作用在梁AB的中点处）。qqFF=+AAABBBxM+222qaFa+xM12Fa+=xM2+22qa+30三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Fs图反对称，M图对称；对称结构在反对称载荷作用下，Fs图对称，M图反对称。31[例7]作下列图示各梁的内力图。FFlFFlllllll0.5F0.5F0.5F0.5FF0FsxFs1xFs2x–0.5F0.5F0.5F–+–F(1)32FFlFFlllllll0.5F0.5F0.5F0.5FF0M20.5Flx0.5Fl–+M1x+0.5FlxMFl+33(2)FllFl=+Fxx=FlFl/2Fl+x–+–FlMM1M234(3)50kN2m2m20kNm=+xx=+20kNm50kNmx20kNm50kN20kNm20kNm++–20kNm30kNm20kNmMM1M235[例8]改内力图之错。a2aaqqa2ABFsx––+qa/43qa/4qa/47qa/447;4qaFqaFBA==xM+qa2/449qa2/323qa2/25qa2/436[例9]已知Fs图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。Fs(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+–+1.25M(kN·m)x+11–37§4.6平面刚架和曲杆的内力图§4.6平面刚架和曲杆的内力图一、平面刚架（Planarrigidframe）1.平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。特点：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。2.内力图规定：弯矩图：画在各杆的受拉一侧，不注明正、负号。剪力图：Fs对所考虑的一段杆件内任一点取矩，顺时针为正轴力图：引起拉伸变形的轴力为正。剪力图和轴力图可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。38[例10]试作图示刚架的内力图。F1F2alABC–FN图F2+Fs图F1+F1F1aM图F1aF1a+F2l39二、曲杆（Planarrod）：轴线为曲线的杆件。内力情况及绘制方法与平面刚架相同。[例11]已知：如图所示，F及R。试绘制Fs、M、FN图。OFRθmmx解：建立极坐标，O为极点，OB极轴，θ表示截面m–m的位置。)(0)cos1()cos()(πθθθθ≤≤−=−==FRRRFFxM)(0cos)(2Nπθθθ≤≤==FFF)(0sin)(1sπθθθ≤≤==FFFAB40OFRθmmxABOO+FN图FFFs图–+)(0)cos1()cos()(πθθθθ≤≤−=−==FRRRFFxM)(0cos)(2Nπθθθ≤≤==FFF)(0sin)(1sπθθθ≤≤==FFFM图OAB2FR41弯曲内力练习：绘制下列图示梁的弯矩图。2FaaF=2FF+(1)x+FaMx=+–2FaM1x+2FaM242(2)aaqqqq=+x=x+–+x3qa2/2qa2/2qa2MM1M2–43