Lagrange乘数法

教案条件极值问题与Lagrange乘数法1.教学内容讲解Lagrange乘数法的原理，并介绍如何应用Lagrange乘数法求解条件极值问题。2.指导思想条件极值问题是实践中经常遇到的应用问题，Lagrange乘数法是解决条件极值问题的一个有效的工具，也是数学分析课程教学上的一个难点，讲好这一节课程，对提高学生分析问题、并利用微积分这一工具解决问题的能力具有重要意义。3.教学安排1．在考虑函数的极值或最值问题时，经常需要对函数的自变量附加一定的条件。例如，求原点到直线⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx的距离，就是在限制条件1=++zyx和632=++zyx的情况下，计算函数222),,(zyxzyxf++=的最小值。这就是所谓的条件极值问题。以三元函数为例，条件极值问题的提法是：求目标函数),,(zyxf在约束条件⎩⎨⎧==0),,(,0),,(zyxHzyxG下的极值。假定具有连续偏导数，且Jacobi矩阵GFf,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=zyxzyxHHHGGGJ在满足约束条件的点处是满秩的，即2rank=J。先考虑取到条件极值的必要条件。上述约束条件实际上是空间曲线的方程。设曲线上一点为条件极值点，由于在该点),,(000zyx2rank=J，不妨假设在点),,(000zyx0),(),(≠∂∂zyHG，则由隐函数存在定理，在附近由该方程可以唯一确定),,(000zyx),(),(),(0ρxOxxzzxyy∈==（)(),(0000xzzxyy==）。它是这个曲线方程的参数形式。将它们代入目标函数，原问题就转化为函数),()),(),(,()(0ρxOxxzxyxfx∈=Φ的无条件极值问题，是函数0x)(xΦ的极值点，因此0)(0=Φ′x，即0),,(),,(),,(000000000=++dxdzzyxfdxdyzyxfzyxfzyx。这说明向量1kji),,(),,(),,(),,(grad000000000000zyxfzyxfzyxfzyxfzyx++=与向量⎟⎠⎞⎜⎝⎛=dxdzdxdy,,1τ正交，即与曲线在点的切向量正交，因此可看作是曲线在点处的法平面上的向量。由定理12.5.1，这个法平面是由与张成的，因此可以由和线性表出，或者说，存在常数),,(000zyx),,(grad000zyxf),,(000zyx),,(grad000zyxG),,(grad000zyxH),,(grad000zyxf),,(grad000zyxG),,(grad000zyxH00,μλ，使得),,(grad000zyxf=0λ),,(grad000zyxG+0μ),,(grad000zyxH，这就是点为条件极值点的必要条件。),,(000zyx将这个方程按分量写开就是⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−−=−−.0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(,0),,(),,(),,(000000000000000000000000000000000zyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzyxHzyxGzyxfzzzyyyxxxμλμλμλ于是，如果我们构造Lagrange函数),,(),,(),,(),,(zyxHzyxGzyxfzyxLμλ−−=（μλ,称为Lagrange乘数），则条件极值点就在方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===−−==−−==−−=0,0,0,0,0HGHGfLHGfLHGfLzzzzyyyyxxxxμλμλμλ的所有解),,,,(00000μλzyx所对应的点中。用这种方法来求可能的条件极值点的方法，称为Lagrange乘数法。),,(000zyx2．作为一个例子，现在用Lagrange乘数法来解决本节开始提出的问题，即求函数222),,(zyxzyxF++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx下的最小值（最小值的平方根就是距离）。为此，作Lagrange函数)632()1(),,,,(222−++−−++−++=zyxzyxzyxzyxLμλμλ，在方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=−++=−−==−−==−−=.0632,01,032,022,02zyxzyxzLyLxLzyxμλμλμλ把方程组中的第一、第二和第三式分别乘以zyx、、后相加，再利用第四、第五式得到2μλ6)(2222+=++zyx。请同学思考，从上式我们能得出什么结论？答案：从方程组解出λ和μ，如果只有一组解，则26μλ+就是原点到直线距离的平方！为此我们只要从方程组解出λ和μ即可。把方程组中的第一、第二和第三式相加，再利用第四式得263=+μλ；把第一式、第二式的两倍和第三式的三倍相加，再利用第五式得12146=+μλ。从以上两个方程解得4,322=−=μλ。于是原点到直线的距离为⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx35)24322(21=+−。注解出λ和μ后，容易得到本题的唯一可能条件极值点为37,31,35==−=zyx，因此原点到直线的距离为⎩⎨⎧=++=++632,1zyxzyx32537,31,35=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−F=35。3．一般地，考虑目标函数在m个约束条件),,,(21nxxxfL);,,2,1(0),,,(21nmmixxxgni==LL下的极值，这里具有连续偏导数，且Jacobi矩阵),,2,1(,migfiL=⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=nmmmnnxgxgxgxgxgxgxgxgxgJLMMMLL212221212111在满足约束条件的点处是满秩的，即mJ=rank。那么我们有下述类似的结论：定理1（条件极值的必要条件）若点为函数满足约束条件的条件极值点，则必存在个常数0x),,,(00201nxxxL=)(xfmmλλλ,,,21L，使得在点成立0xmmgggfgradgradgradgrad2211λλλ+++=L。于是可以将Lagrange乘数法推广到一般情形。同样地构造Lagrange函数∑=−=miniinmnxxxgxxxfxxxL121212121),,,(),,,(),,,,,,,(LLLLλλλλ，那么条件极值点就在方程组（*）),,2,1;,,2,1(,0,01mlnkgxgxfxLlmikiikkLL==⎪⎩⎪⎨⎧==∂∂−∂∂=∂∂∑=λ的所有解),,,,,,,(2121mnxxxλλλLL所对应的点中。),,,(21nxxxL3判断如上所得的点是否为极值点有以下的一个充分条件，我们不加证明地给出，请有兴趣的读者将证明补上。定理2设点及m个常数0x),,,(00201nxxxL=mλλλ,,,21L满足方程组（*），则当方阵nnmlkxxL×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂),,,(2102λλλLx为正定（负定）矩阵时，为满足约束条件的条件极小（大）值点，因此为满足约束条件的条件极小（大）值。0x)(0xf注意，当这个定理中的方阵为不定时，并不能说明不是极值。例如，在求函数在约束条件)(0xf222),,(zyxzyxf−+=0=z下的极值时，构造Lagrange函数，并解方程组zzyxzyxLλ−−+=222),,(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==−−=====0,02,02,02zzLyLxLzyxλ得0====λzyx。而在点，方阵)0,0,0,0(⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛200020002zzzyzxyzyyyxxzxyxxLLLLLLLLL是不定的。但在约束条件下，，即是条件极小值。0=z0)0,0,0(),,(22=≥+=fyxzyxf)0,0,0(f4．例题在实际问题中往往遇到的是求最值问题，这时可以根据问题本身的性质判定最值的存在性（如前面的例子）。这样的话，只要把用Lagrange乘数法所解得的点的函数值加以比较，最大的（最小的）就是所考虑问题的最大值（最小值）。例1要制造一个容积为立方米的无盖长方形水箱，问这个水箱的长、宽、高为多少米时，用料最省？a解设水箱的长为x、宽为、高为（单位：米），那么问题就变成在水箱容积yzaxyz=的约束条件下，求水箱的表面积yzxzxyzyxS22),,(++=的最小值。作Lagrange函数)(22),,,(axyzyzxzxyzyxL−−++=λλ，从方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=−+==−+==−+=0,022,02,02axyzxyyxLxzzxLyzzyLzyxλλλ4得到唯一解22,2,2333azayax===。由于问题的最小值必定存在，因此它就是最小值点。也就是说，当水箱的底为边长是32a米的正方形，高为223a米时，用料最省。例2求平面与椭球面相交而成的椭圆的面积。0=++zyx14222=++zyx解椭圆的面积为abπ，其中分别为椭圆的两个半轴，因为椭圆的中心在原点，所以分别是椭圆上的点到原点的最大距离与最小距离。ba,ba,zOyx图12.7.1于是，可以将问题表述为，求222),,(zyxzyxf++=在约束条件⎩⎨⎧=++=++14,0222zyxzyx下的最大值与最小值。作Lagrange函数)14()(),,,,(222222−++−++−++=zyxzyxzyxzyxLμλμλ，得到相应的方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=++=−−==−−==−−=.014,0,0)41(2,0)1(2,0)1(2222zyxzyxzLyLxLzyxλμλμλμ将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以，第三式乘以后相加，再利用和得到yz0=++zyx14222=++zyxμ=++=222),,(zyxzyxf。请同学思考，从上式我们能得出什么结论？答案：从方程组解出μ，如果只有二个解1μ和2μ，则它们就是该椭圆的半长轴与半短轴的平方！所以问题转化为求μ的值。将以上方程组中的第一式乘以μ41−，第二式乘以μ41−，第三式乘以μ−1后相加，得到50)31(3=−μλ。分两种情况：（1）当031=−μ时，得31=μ。（2）当0=λ时，原方程组就是⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=−++=++=−=−=−.014,0,0)41(,0)1(,0)1(222zyxzyxzyxμμμ此时1=μ（否则从以上方程组的第一，第二和第四式得到0===zyx，这不是椭圆上的点）。于是得到该椭圆的半长轴为1，半短轴为31，面积为3π。许多实际问题并不需要完全解出方程组来求得最值，上述解法是一种常用的方法，可以使解决问题的方法与计算简化。例3求函数（）在闭区域上的最大值和最小值。222),(cybxyaxyxf++=0,,;02−cbaacb}1|),{(22≤+=yxyxD解首先考察函数在D的内部的极值，这是无条件极值问题。为此解线性方程组f}1|),{(22+yxyx⎩⎨⎧=+==+=.022,022cybxfbyaxfyx由假设知道方程组的系数行列式不等于零，因此只有零解，即点是驻点。易计算在点02−acb0,0==yx)0,0()0,0(cfbfafyyxyxx2)0,0(,2)0,0(,2)0,0(===，因此。而，所以点是函数的极小值点，极小值为0)(4)0,0()0,0()0,0(22−=−bacfffxyyyxx0xxf)0,0(f0)0,0(=f。再考察函数在D的边界上的极值，这是条件极值问题。为此作Lagrange函数f}1|),{(22=+yxyx)1(2),,(2222−+−++=yxcybxyaxyxLλλ，并得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−+=−+=+−.01,0)(,0)(22yxycbxbyxaλλ将方程组中的第一式乘以x，第二式乘以后相加，再用第三式代入就得到yλλ=+=++=)(2),(2222yxcybxyaxyxf，这说明在上的极大值与极小值包含在方程组关于),(yxf}1|),{(22=+yxyxλ的解中。下面来求λ的值。由联立方程组中的，可知二元一次方程组有0122=−+yx⎩⎨⎧=−+=+−0)(0)(ycbxbyxaλλ6非零解，因此系数行列式等于零，即0)(22=−++−baccaλλ。解这个关于λ的方程，得到[])(4)()