2013届高三数学一轮复习 第七章平面集合圆的方程课件 文

2013届高三数学一轮复习课件第七章平面集合圆的方程 考点考纲解读1圆的方程掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2点与圆的位置关系会用几何法和代数法判断点与圆的位置关系. 从近几年的高考试题来看,求圆的方程或已知圆的方程求圆心坐标、半径等是高考的热点,题型有选择、填空和解答题,客观题突出“小而巧”的特点.可以预测2013年高考用待定系数法求圆的方程仍是考查的重点,同时注重考查方程思想和数形结合思想的运用. 一、圆的方程1.圆的定义:平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹叫做圆.2.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为C(a,b),半径为r.若圆心在坐标原点上,这时a=b=0,则圆的方程就是x2+y2=r2.3.圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)①.(2)当D2+E2-4F=0时,方程①只有实数解x=- ,y=- ,即只表示一个点(-,-);2D2E2D2E(1)当D2+E2-4F0时,①表示以(-,-)为圆心,  为半径的圆;2D2E12224DEF(3)当D2+E2-4F0时,方程①没有实数解,因而它不表示任何图形.二、点与圆的位置关系判断点A(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系,可用下列方法:(1)几何法:|AC|r⇔点A在圆内;|AC|=r⇔点A在圆上;|AC|r⇔点A在圆外.(2)代数法:(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点A在圆内;(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔点A在圆上;(x0-a)2+(y0-b)2r2⇔点A在圆外.三、对称问题圆(x-a)2+(y-b)2=r2关于直线x=0的对称圆的方程为(x+a)2+(y-b)2=r2;关于直线y=0的对称圆的方程为(x-a)2+(y+b)2=r2;关于直线y=x的对称圆的方程为(x-b)2+(y-a)2=r2;关于直线y=-x的对称圆的方程为(x+b)2+(y+a)2=r2.对于一般的直线方程Ax+By+C=0,先求出圆心P(a,b)关于直线的对称点P1,然后以P1为圆心r为半径写出圆的方程即可. 1.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是 ()(A)a-2或a .(B)- a0.(C)-2a0.(D)-2a .【答案】D232323【解析】由a2+4a2-4(2a2+a-1)0知-3a2-4a+40,即3a2+4a-40,∴-2a .232.圆(x+2)2+y2=5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为 ()(A)(x-2)2+y2=5.(B)x2+(y-2)2=5.(C)(x+2)2+(y+2)2=5.(D)x2+(y+2)2=5.【解析】点(-2,0)关于(0,0)对称点(2,0),则所求圆的方程为(x-2)2+y2=5.【答案】A3.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 ()(A)(x-2)2+(y+1)2=1.(B)(x-2)2+(y+1)2=4.(C)(x+4)2+(y-2)2=4.(D)(x+2)2+(y-1)2=1.【答案】A【解析】设圆上任一点坐标为(x0,y0),则 + =4,设连线中点坐标为(x,y),20x20y则 ⇒ 代入 + =4中得(x-2)2+(y+1)2=1.0024,22xxyy0024,22xxyy20x20y4.以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为.【答案】x2+(y-4)2=20或(x-2)2+y2=20【解析】令x=0得y=4,令y=0得x=2,∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0),∴|AB|= ,以点A为圆心过点B的圆方程为x2+(y-4)2=20,以点B为圆心过点A的圆方程为(x-2)2+y2=20.20题型1圆的方程 例1求经过点A(-2,-4),且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.【分析】求圆的方程,既可以设圆的一般方程,也可以设圆的标准方程,用待定系数法求解.【解析】(法一)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心C(- ,- ),∴kCB= .由kCB·kl=-1得 ·(- )=-1.①又(-2)2+(-4)2-2D-4E+F=0,②2D2E6282ED6282ED1382+62+8D+6E+F=0.③由①②③联立解得D=-11,E=3,F=-30.∴所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.(法二)设所求圆的圆心为C,则CB⊥l,从而可得CB所在直线的方程为y-6=3(x-8),即3x-y-18=0.①由A(-2,-4),B(8,6),得AB的中点坐标为(3,1).又kAB= =1,∴AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-3),即x+y-4=0.②6482由①②联立后,解得 即圆心的坐标为( ,- ).11,23.2xy11232∴所求圆的半径r== .∴所求圆的方程为(x- )2+(y+ )2= .【点评】用待定系数法求圆的方程的步骤大致是:①根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程;②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;③解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程.22113(8)(6)221252112321252变式训练1(1)求经过两点A(-1,4)、B(3,2),且圆心在y轴上的圆的方程.(2)求与x轴切于点(5,0),并且在y轴上截得的弦长为10的圆的方程.【解析】(1)∵圆心在y轴上,可设圆的标准方程是x2+(y-b)2=r2.∵该圆经过A、B两点,∴ ∴ 所以圆的方程是x2+(y-1)2=10.222222(1)(4),3(2),brbr21,10.br(2)设所求圆的方程为(x-5)2+(y-b)2=b2,并且与y轴交于A、B两点,则|AB|=10,∴|b|=5 ,b=±5 ,∴所求圆的方程为(x-5)2+(y±5 )2=50.222题型2与圆有关的最值问题 例2(1)由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,求切线长的最小值.(2)若实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求 的最值.1yx【分析】(1)由于切线垂直于过切点的半径,故切线长的平方等于圆外的点到圆心的距离与半径的平方差.(2)将 看作斜率,数形结合求最值.1yx【解析】(1)如图所示,设直线上一点P,切点为Q,圆心为M,则|PQ|即为切线长,MQ为圆M的半径,长度为1,|PQ|= = ,要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,也即求直线y=x+1上的点到圆心M的最小距离,即圆心到直线y=x+1的距离d,则d= =2 ,∴|PM|的最小值为2 ,∴|PQ|= ≥ = .22||||PMMQ2||1PM22|301|1(1)222||1PM2(22)17(2)∵ = ,∴ 表示过点P(-1,0)与圆(x-2)2+y2=3上的点(x,y)的直线的斜率.1yx0(1)yx1yx由图象知 的最大值和最小值分别是过P与圆相切的直线PA、PB的斜率.设圆心C(2,0).又∵kPA= = = ,kPB=- =- =- .即 的最大值为 ,最小值为- .1yx||||CAPA3622||||CBPB36221yx2222【点评】求与圆有关的最值问题常采用几何法,就是利用一些代数式的几何意义进行转化.如形如m= 的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;形如t=ax+by的最值问题,可转化为直线在y轴上的截距的最值问题;形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为两点间的距离平方的最值问题.ybxa变式训练2已知实数x、y满足方程y=.求(1) 的最大值和最小值;241xx21yx(2)x-2y的最大值和最小值.【解析】(1)y= 所表示的图形为x轴上方的半圆,设半圆与x轴的交点从左至右分别为A、B, 看成圆上一点与(-1,-2)连线l的斜率,可知当l与圆切在x轴上方和过点B时分别达到最大值 和最小值 .241xx21yx6306333(2)x-2y看成是直线x-2y=b在x轴上的截距,当直线与圆切于x轴的上方和过点B时分别取得最小值2- 和最大值2+ .153 1.求圆的方程时,要选择适当的方程:(1)若条件与半径、圆心坐标有关,选标准式;(2)若条件与半径、圆心坐标无关选一般式.研究圆的一般式方程要注意其存在的条件.2.研究与圆有关的最值问题时,注意恰当地运用几何知识,利用图形的直观性数形结合来分析求解,从而减少计算量.3.求解轨迹问题的方法有直接法、定义法、几何法、代入法、交轨法、参数法等.不论哪种方法,充分利用圆的几何性质,找出动点与定点之间的关系是解题的关键.