2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件：7.4圆的方程(第2课时)

第七章直线与圆的方程第讲（第二课时）1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B.题型3与圆有关的变量的取值范围(1)求k的取值范围；(2)是否存在常数k,使得向量与共线？如果存在,求k的值；如果不存在,请说明理由.解：(1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4，所以圆心为Q(6，0)，过P(0，2)且斜率为k的直线方程为y=kx+2.代入圆的方程得x2+(kx+2)2-12x+32=0，整理，得(1+k2)x2+4(k-3)x+36=0.①因为直线与圆交于两个不同的点A，B，OAOBPQ所以Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(-8k2-6k)0，解得-k0，即k的取值范围为(-，0).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(x1+x2，y1+y2)，由方程①，得②又③而P(0，2)，Q(6，0)，=(6，-2).3434OAOB1224(-3)-.1kxxk121224(31)()4.1kyykxxkPQ所以与共线等价于-2(x1+x2)=6(y1+y2)，将②③代入上式，解得k=-.由(1)知k∈(-，0)，故没有符合题意的常数k.点评：注意配方法在化圆的一般方程为标准方程时的应用.直线与圆相交于两点可由直线方程与圆方程联立消去x(或y)，得到一个一元二次方程，利用Δ0求得k的范围.OAOBPQ3434已知以点C(t，2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．(1)求证：△AOB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M、N，若OM＝ON，求圆C的方程．解：(1)证明：因为⊙C过原点，所以OC2＝t2＋4t2，所以设圆C的方程为(x－t)2＋(y－2t)2＝t2＋4t2.令x＝0，得y1＝0，y2＝4t；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.所以A(2t,0)，B(0，4t)，故S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12·|2t|·|4t|＝4(为定值)．即△OAB的面积为定值．(2)因为OM＝ON，CM＝CN，所以OC垂直平分线段MN.因为kMN＝－2，所以kOC＝12，所以直线OC的方程是y＝12x，所以2t＝12t，解得t＝2或t＝－2.当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC＝5，点C到直线y＝－2x＋4的距离d＝155，此时，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；当t＝－2时，圆心C(－2，－1)到直线y＝－2x＋4的距离d＝955，此时，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，故舍去．所以所求圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.2.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△ABO的内切圆上一点.求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.解法1：如图所示，建立直角坐标系，使A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0).设点P(x，y)，内切圆的半径为r，则有2r+|AB|=|OA|+|OB|，所以r=1.题型4以圆为背景的最值问题故内切圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1，化简得x2+y2-2x-2y+1=0.①又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.②由①可知，x2+y2-2y=2x-1.将其代入②有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.因为x∈［0，2］，故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22，最小值为18.所以三个圆的面积之和为所以所求面积的最大值为最小值为解法2:由解法1知内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以可设点P(1+cosθ，1+sinθ)，所以|PA|2+|PB|2+|PO|2=[(1+cosθ)-4]2+(1+sinθ)2+(1+cosθ)2+[(1+sinθ)3]2+(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=-2cosθ+20.222222||||||()()()(||||||).2224PAPBPOPAPBPO11,29.2因为cosθ∈[-1,1],得到|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22，最小值为18.以下同解法1.点评：与圆有关的最值问题一般是根据圆的方程得出相应参数的函数式，如果函数式中含有多个变量，一般是消参，如解法1中利用整体代换消去参数y，而解法2是利用圆的参数方程得到只含一个参数的函数式，然后根据函数的最值求解方法进行求解.已知点P(x，y)是圆(x+2)2+y2=1上任意一点.(1)求点P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；(2)求x-2y的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.解：(1)圆心C(-2，0)到直线3x+4y+12=0的距离为-2-1yx22|3(-2)4012|6.534所以点P到直线3x+4y+12=0的距离的最大值为最小值为(2)设t=x-2y,则直线x-2y-t=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点,所以所以所以6111,55dr61--1.55dr22|-2-|1,12t-5-25-2,tmaxmin5-2,-2-5.tt(3)设则直线kx-y-k+2=0与圆(x+2)2+y2=1有公共点，所以所以所以-2,-1ykx2|-32|1,1kk3-333,44kmaxmin333-3,.44kk1.在使用圆的方程时，应根据题意进行合理选择.圆的标准方程，突出了圆心坐标和半径，便于作图使用;圆的一般方程是二元二次方程的形式，便于代数运算;而圆的参数方程在求范围和最值时应用广泛.因此，在选择方程形式时，应注意它们各自的特点.2.在讨论含有字母参变量的圆的方程问题时，始终要把“方程表示圆的条件”作为首要条件，也可以理解为“定义域优先原则”的拓展.3.求变量的取值范围，一般从不等式入手；求变量的最值，一般用函数思想处理.