原点教育中考数学压轴题分类解析汇编动点问题(含答案)

原点教育培训学校王老师1原点教育动点问题1.（2012上海市14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=12BC=12。又∵OB=2，∴2222115OD=OBBD222。（2）存在，DE是不变的。如图，连接AB，则22AB=OB+OA22。∵D和E是中点，∴DE=1AB=22。（3）∵BD=x，∴2OD4x。∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠AOB=900。∴∠2+∠3=45°。过D作DF⊥OE，垂足为点F。∴DF=OF=24x2。由△BOD∽△EDF，得BDOD=EFDF，即原点教育培训学校王老师222x4x=EF4x2，解得EF=12x。∴OE=2x+4x2。∴2222114xx+4x4x+x4xyDFOE=0x222422（）。【考点】垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由OD⊥BC，根据垂径定理可得出BD=12BC=12，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长。（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再由D和E是中点，根据三角形中位线定理可得出DE=2。（3）由BD=x，可知2OD4x，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，则DF=OF=24x2，EF=12x，OE=2x+4x2，即可求得y关于x的函数关系式。∵22AB=OB+OA22，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合），∴0x2。2.（2012福建南平14分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．原点教育培训学校王老师3（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）【答案】解：（1）AB=AC；∠AED=∠ADC；△ADE∽△ACD。（2）①∵∠B=∠C，∠B=45°，∴△ACB为等腰直角三角形。∴22ACBC2222。∵∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD。∴AD：AC=AE：AD，∴22ADADAEAC 222AD2。当AD最小时，AE最小，此时AD⊥BC，AD=12BC=1。∴AE的最小值为222122。∴CE的最大值=22222。②当AD=AE时，∴∠1=∠AED=45°，∴∠DAE=90°。∴点D与B重合，不合题意舍去。当EA=ED时，如图1，∴∠EAD=∠1=45°。∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC。∴BD=1。当DA=DE时，如图2，∵△ADE∽△ACD，∴DA：AC=DE：DC。∴DC=CA=2。∴BD=BC－DC=2－2。综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长的长为1或2－2。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰（直角）三角形的判定和性质。【分析】（1）由∠B=∠C，根据等腰三角形的性质可得AB=AC；由∠1=∠C，∠AED=∠EDC+∠C得到∠AED=∠ADC；又由∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得到△ADE∽△ACD。原点教育培训学校王老师4（2）①由∠B=∠C，∠B=45°可得△ACB为等腰直角三角形，则22ACBC2222，由∠1=∠C，∠DAE=∠CAD，根据相似三角形的判定可得△ADE∽△ACD，则有AD：AC=AE：AD，即22ADADAEAC 222AD2，当AD⊥BC，AD最小，此时AE最小，从而由CE=AC－AE得到CE的最大值。②分当AD=AE，，EA=ED，DA=DE三种情况讨论即可。3.（2012甘肃兰州12分）如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝52上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B(0，4)，∴c＝4。∵顶点在直线x＝52上，∴b5=2223，解得10b=3。∴所求函数关系式为2210y=xx+433。原点教育培训学校王老师5（2）在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴22ABOAOB5=。∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5。∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x＝5时，2210y=55+4=433；当x＝2时，2210y=22+4=033。∴点C和点D都在所求抛物线上。（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则5k+b=42k+b=0，解得，4k=38b=3。∴直线CD对应的函数关系式为48y=x33。当x＝52时，4582y==3233。∴P(5223，)。（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD。∴OMONOBOD，即tON42，得tON2。设对称轴交x于点F，则PFOM112555SPFOMOF=+t=t+223246梯形。∵2MON1111SOMON=tt=t2224，PME1151215SNFPF=t=t+2222366，MONPMEPFOMS=SSS梯形2255115117t+tt+t+t46466412(0＜t＜4)。∵22117117289S=t+t=t+41246144，104，0＜176＜4，∴当17t=6时，S取最大值是289144。此时，点M的坐标为(0，176)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数原点教育培训学校王老师6的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据抛物线y＝23x2＋bx＋c经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝52上，得出b，c即可。（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可。（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝52时，求出y即可。（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出OMONOBOD，得到tON2，从而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可。4.（2012广东省9分）如图，抛物线213y=xx922与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．【答案】解：（1）在213y=xx922中，令x=0，得y=－9，∴C（0，﹣9）；令y=0，即213xx9=022，解得：x1=﹣3，x2=6，∴A（﹣3，0）、B（6，0）。原点教育培训学校王老师7∴AB=9，OC=9。（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，∴2AEDABCSAESAB，即：2sm19992。∴s=12m2（0＜m＜9）。（3）∵S△AEC=12AE•OC=92m，S△AED=s=12m2，∴S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣12m2+92m=﹣12（m﹣92）2+818。∴△CDE的最大面积为818，此时，AE=m=92，BE=AB﹣AE=92。又22BC6+9=313，过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：EFBEOCBC，即：9EF29313。∴27EF1326。∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=72952。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。（2）直线l∥BC，可得出△AED∽△ABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。（3）①首先用m列出△AEC的面积表达式，△AEC、△AED的面积差即为△CDE的面积，由此可得关于S△CDE关于m的函数关系式，根据函数的性质可得到S△CDE的最大面积以及此时m的值。②过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的⊙E的半径，可根据相似三角形△BEF、△BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。5.（2012贵州毕节16分）如图，直线l1经过点A（－1，0），直线l2经过点B(3，0),l1、l2均为与y轴交于点C(0，3)，抛物线2y=ax+bx+c(a0)经过A、B、C三点。原点教育培训学校王老师8（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证：DE=EF=FG;(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使△PCG为等腰三角形，请写出符合条件的点P的坐标，并简述理由。【答案】解：（1）∵抛物线2y=ax+bx+c(a0)经过A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，∴ abc09a3bc0c3，解得3 a323b3c3。∴抛物线的解析式为：2323y=x+x333．（2）证明：设直线l1的解析式为y=kx+b，由直线l1经过A（－1，0），C（0，3），得∴kb0b3，解得k3b3，∴直线l1的解析式为：y=-3x3。直线l2经过B（3，0），C（0，3）两点，同理可求得直线l2解析式为：y=33x3。∵抛物线22323343y=x+x3=x13333，原点教育培训学校王老师9∴对称轴为x=1，D（1，0），顶点坐标为F（1，433）。点E为x=1与直线l2：y=33x3的交点，令x=1，得y=233，∴E（1，233）。点G为x=1与直线l1：y=-3x3的交点，令x=1，得y=23，∴G（1，23）。∴各点坐标为：D（1，0），E（1，233），F（1，433），G（1，23），