运筹学-运输问题的表上作业法(名校讲义)

第十讲运输问题的表上作业法§1运输问题事例§2运输问题的一般形式§3表上作业法§1运输问题事例（1）已知，有4个产地（源点）生产的产品需销售到4个需求地（目的地或汇点），其源点产量和目的地需求量见表1-5。表1-5运输问题的需求量及产量目的地需求量源点产量1234总计22281723901234总计2418123690其源点到目的地的单位产品的运费价格见图1-7。§1运输问题事例（2）费目用的源点地12341③⑨⑤⑥2④①⑦④3⑥⑧②⑤4⑤⑤④③2418123622281723图1-7运输费用矩阵表格旁边数字为产量和需要求量§2运输问题的一般形式njijijminmxc11(1))(zmin个目的地个源点，)2(),,1(1njiijmirx约束：mijijnjax1(3)),1,((4)11minjjiarri——源i产量，aj——目的地j的需求量。§3表上作业法（1）与单纯形表格法一样，该法亦分两步进行：·求出初始基础可行解·求出最优解1．用最小元素法求出满意的初始基础可解其方法是，按照费用矩阵元素Cij增长顺序逐个选择引入基本解的变量xij，非退化情况下，每选择1个，就必然排除1个源点或目的地，最后一步可一次排除1个源点和1个目的地，这样便可得到一个初始基础可行解。§3表上作业法（2）以上例考察，观察图1-7。①∵min{cij}=c22=1。故优先分配源2和目的地2之间的产品图1-8最小元素法第1步③⑨⑤⑥④18①⑦④⑥⑧②⑤⑤⑤④③2401222171023361828§3表上作业法（3）②余下元素中，最小值为c32=2。图1-9最小元素法第2步③依此类推，最后获初始基础可行解示如图1-10中。③⑨⑤⑥④18①⑦④⑥⑧12②⑤⑤⑤④③240122217102336182805§3表上作业法（4）图1-10初始基础可行解即基础解为：x11=22，x12=18，x33=12，x42=8，x43=5，x44=23。此时总费用为225。22③2⑨⑤⑥④18①⑦⑤⑥⑧12②⑤⑤8⑤5④23③§3表上作业法（5）2．求出最优解这有两种方法：闭回路法和位势法。①闭回路法，其思路是令表中空格（即非基础解），对应的变量由0增加d单位，然后在保持产品供求平衡（即满足约束条件）情况下，使基础解参与变动，看其费有如何变化，若费用减少，则该非基变量可进入基，否则，加以排除，其思路与单纯形法一致。现继上图继续改进基础解，直至达优。i)参见图1-11，分析非基变量x32增加d单位以后，其它基础解及费用变化。§3表上作业法（6）22③2⑨⑤⑥24④18①⑦④18⑥⑧+d12②-d⑤12⑤8⑤-d5④+d23③36222817232．求出最优解图1-11回路法原理§3表上作业法（7）为使供求平衡，必须符合：x32+d→x42－d→x43+d→x33－d变动后，费用增加值为：8d－5d+4d－2d=5d，即费用增加，x32不能进基，为比较，把增加1个单位产品所引起的费用增加值填入相应的非基变量表格内，这又称检验值。注意，在用回路法求解每个非基变量检验值时，在根据供求平衡寻找闭合回路过程中，其回路转折点必须是基础解！例如，分析非基解x31↑→x11↓→x12↑→x42↓→x43↑→x33↓→x31。§3表上作业法（8）22③2⑨⑤⑥24④18①⑦④18⑥⑧12②⑤12⑤8⑤5④23③36222817239695-3745-1对每个非基变量计算后，将其检验值填入图1-12中。图1-12回路法计算结果其中：内表示费用元素内表示检验值表内其它值为基础解。§3表上作业法（9）ii)观察表格，或检验值全部≥0，已达最优胜，结束。否则，选取最负的检验值所对的非基变量，令其进基。图1-12中，x13的检验值为最负，故令x13进基，应使x13尽量大，但又必须使其它变量非负。观察x13变化规律：x13↑→x12↓→x42↑→x43↓。应取下降变量中的最小值作为x13的值。此时min{x12，x43}=min{2，5}=2。故令x13=2则x12=0，x42=10，x43=3。将图1-12修正后，再求出当前非变量的检验值，示如图1-13。非基础解的检验数合为正，故获最成解，总费用为249。§3表上作业法（10）22③⑨2⑤⑥24④18①⑦④18⑥⑧12②⑤12⑤10⑤3④23③3622281723636357452图1-13回路法所得最优表格§3表上作业法（11）②位势法（简捷法）该法对运输费用矩阵表格每次可确定一组“行值”和“列值”。确定原则为使得每个基础变量之费用cij等于相应得行、列值之和，根据该原则求出行列值之后，用这些值再去求解每个非基本变量的检验数。结合本例阐述该步骤：（见图1-14）§3表上作业法（12）图1-14用位势法求解实例22③2⑨⑤⑥24④18①⑦④18⑥⑧12②⑤12⑤8⑤5④23③3622281723969-35745-1S1S2S3S4t1t2t3t4§3表上作业法（13）i)令si，tj分别为行值和列值求解方程：si+tj=cij[xijB基集]从方程知，共有m+n－1个方程和m+n个未知量。由于我们感兴趣的是相对值，故可令任一个行值或列值等于某个固定值，例如令t1=0，即可求出各行、列值，可见“行”“列”值不是唯一的。对于本例，令t1=0后，解联立方程：135393432112211111ssssctscts§3表上作业法（14）ii)根据已得的si，tj值求出非基础的检验值（或成本变动值）ij：ij=cij－(si+tj)例如：图1-14中，13=c13－(s1+t3)＝5－(3+5)=-3若130,则可进入基，根据此法求出所有非基本变量对应的检验值（成本变动值）后，选取minij(ij0)所对应的变量进入基础解。图1-14中得知，13=-3为最小值，令x13进基，采用回路法找出应离开的基变量，重新调整后，仍按上述步骤反复运算，最后得出最优解。现在看位势法的对偶解释：结合本例，示如表1-6中。§3表上作业法（15）表1-6位势法的对偶解释x11+x12+x13+x14=24x21+x22+x23+x24=18x31+x32+x43+x44=12x41+x42+x43+x44=36x11+x21+x31+x41=22x12+x22+x32+x42=28x13+x23+x33+x43=17x14+x24+x34+x44=23(r1)s1(r2)s2(r3)s3(r4)s4(a1)t1(a2)t2(a3)t3(a4)t4c11c12c13c14………………………………..c44§3表上作业法（16）表1-6列出了本例的供求关系的8个约束方程。（由于，故只有7个独立约束方程）。该规划的对偶约束必为：jiar444412211111ctsctscts§3表上作业法（17）显然，si，tj即是对偶问题的对偶变量y。共8个对偶变量，每次送代时有7个基础解变量，可写出7平衡方程式：si+tj=cij(xijB)这与上面分析完全一致。因此，位势法实质每一步都是首先求解对偶方程的平衡解，这与单纯形法思路相同。唯一差别是，本文在单纯形法引进的检验数为zs－cs，而运输问题引进的检验值cs－zs，相差一符号，这并无本质差别，只是判断时注意即可。