《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-3第一章精要课件 二项式定理

本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.11.3.1二项式定理【学习要求】1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及其展开式的通项公式．3．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【学法指导】二项式定理是计数原理的一个应用，学习中要理解二项式中的有关元素，利用二项式系数及其性质解决有关问题.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1填一填·知识要点、记下疑难点1．二项式定理公式叫做二项式定理．2．(a＋b)n展开式共有项，其中叫做二项式系数．3．(a＋b)n展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作Tr＋1＝.(a＋b)n=C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N＋)n＋1各项系数Crn(r＝0,1,2，…，n)r＋1Crnan－rbr本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点一二项式定理问题1如何利用计数原理得到(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4的展开式？答(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a＋b)在相乘时都有两种选择：选a或选b，而且每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2展开式共有2×2＝22项，而且a2－rbr相当于从2个(a＋b)中取r个b的组合数Cr2，即a2－rbr的系数是Cr2.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效(a＋b)2＝C02a2＋C12ab＋C22b2，同理(a＋b)3＝C03a3＋C13a2b＋C23ab2＋C33b3，(a＋b)4＝C04a4＋C14a3b＋C24a2b2＋C34ab3＋C44b4.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效问题2根据问题1猜想(a＋b)n的展开式，并简要说明每一项的形成过程．答(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N*)．因为(a＋b)n由n个(a＋b)相乘，每个(a＋b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项，所以展开式共有2n项，并且每一项都是an－rbr(r＝0,1，…，n)的形式．an－rbr出现的次数相当于从n个(a＋b)中取r个b的组合数Crn，即an－rbr的系数为Crn.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效问题3二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？答它有n＋1项，各项的系数Crn(r＝0,1，…，n)叫二项式系数；各项的次数都等于二项式的次数n.问题4二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？答(1)字母a按降幂排列，次数由n递减到0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n；(2)Crnan－rbr叫二项展开式的通项，用Tr＋1表示，即通项Tr＋1＝Crnan－rbr.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效例1求(3x＋1x)4的展开式．解方法一3x＋1x4＝C04(3x)4＋C14(3x)3·1x＋C24(3x)21x2＋C34(3x)1x3＋C441x4＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.方法二3x＋1x4＝3x＋14x2＝1x2(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋12x＋1x2.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效小结在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练1求1＋1x4的展开式．解方法一1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.方法二1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1]＝1＋4x＋6x2＋4x3＋1x4.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点二二项展开式的通项例2(1)求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数、项的系数；(2)求x－1x9的展开式中x3的系数．解(1)(1＋2x)7的展开式的第4项是T3＋1＝C37×17－3×(2x)3＝C37×23×x3＝35×8x3＝280x3.所以展开式的第4项的二项式系数是C37＝35，系数是280.(2)x－1x9的展开式的通项是Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r.根据题意，得9－2r＝3，r＝3.因此，x3的系数是(－1)3C39＝－84.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效小结(1)要注意展开式的第r＋1项，对应于二项式系数Crn；(2)要注意一个二项展开式的某一项的二项式系数与这一项的系数是两个不同的概念．有时相等，有时不相等，它们之间没有必然的联系．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练2(1)(1＋2x)7的展开式的第几项的二项式系数等于35?(2)x－1x9的展开式中，含有x6项吗？若有，系数为多少？含有x5项吗？若有，系数为多少？解(1)C37＝C47＝35，所以第4项与第5项的二项式系数等于35.(2)根据通项(－1)rCr9x9－2r，当9－2r＝6时，r无整数解；当9－2r＝5时，解得r＝2，所以系数为36.所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效探究点三综合应用例3已知x－124xn的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．(1)证明由题意得：2C1n·12＝1＋C2n·122，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)．∴Tk＋1＝Ck8(x)8－k·－124xk＝－12k·Ck8x·x＝(－1)kCk82k·x(0≤k≤8，k∈Z)．8－k2－k416－3k4本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效若Tk＋1是常数项，则16－3k4＝0，即16－3k＝0，∵k∈Z，这不可能，∴展开式中没有常数项；(2)解由(1)知，若Tk＋1是有理项，当且仅当16－3k4为整数，∴0≤k≤8，k∈Z，∴k＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T1＝x4，T5＝358x，T9＝1256x－2.小结根据通项公式求二项展开式的某些项，要理解并准确应用项的特征，合并通项中同一字母的指数；若通项中含有根式，可把根式化为分数指数幂．本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效跟踪训练3已知在3x－33xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解通项公式为Tk＋1＝Cknx(－3)kx＝Ckn(－3)kx.(1)∵第6项为常数项，∴k＝5时有n－2k3＝0，即n＝10.(2)令n－2k3＝2，得k＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210(－3)2＝405.n－k3－k3n－2k3本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1研一研·问题探究、课堂更高效(3)根据通项公式，由题意得10－2k3∈Z0≤k≤10k∈Z，令10－2k3＝r(r∈Z)，则有10－2k＝3r，即k＝5－32r.∵k∈Z且0≤k≤10，∴r应为偶数．∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210(－3)2x2，C510(－3)5，C810(－3)8x－2.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1练一练·当堂检测、目标达成落实处1．求(2a＋3b)6的展开式中的第3项为________．2160a4b22．求(3b＋2a)6的展开式中的第3项的系数为________，二项式系数为________．486015本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1练一练·当堂检测、目标达成落实处3．已知(ax＋1)7(a≠0)的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，则a的值为________．解析依题意C57a2＋C37a4＝2C47a3.由于a≠0，整理得5a2－10a＋3＝0，解得a＝1±105.1±105本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1练一练·当堂检测、目标达成落实处4．求2x－1x6的展开式．解先将原式化简，再展开，得2x－1x6＝2x－1x6＝1x3(2x－1)6＝1x3[(2x)6－C16(2x)5＋C26(2x)4－C36(2x)3＋C46(2x)2－C56(2x)1＋C66]＝64x3－192x2＋240x－160＋60x－12x2＋1x3.本课时栏目开关填一填研一研练一练1.3.1练一练·当堂检测、目标达成落实处1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记Crnan－rbr是展开式的第r＋1项，不要误认为是第r项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值.本课时栏目开关填一填研一研练一练