中考数学--整体思想练习

1中考数学专项讲解整体思想知识梳理整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后．得出结论．整体思想的应用，要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造．整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用．整体思想使用得恰当，能提高解题效率和能力，减少不必要的计算和走弯路，直奔主题．因而在处理数与式的运算、方程、几何计算等方面有着广泛应用．是初中数学学习中的重要思想方法．典型例题一、在数与式的运算中的应用【例1】已知代数式3x2－4x+6的值为9，则2463xx的值为()A．18B．12C．9D．7【分析】如果根据题意直接求出x再代入到2463xx中求值将非常麻烦，特别是x为一个无理数．考虑到由题意3x2－4x=3成立，而3x2－4x是243xx的3倍，所以可以将243xx看作一个整体，则2461673xx．【解】D此题是灵活运用数学方法，解题技巧求值的问题，首先要观察一直条件和需要求解的代数式，然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式，运用主题带入法即可得解【练习】先化简，再求值222142442aaaaaaaa，其中a满足a2－2a－1=0．【分析】对分式进行化筒结果为212aa，如果把a求出具体值再代入计算会很麻烦，但如果把a2－2a看成一个整体，则由已知可得a2－2a=1，所以原式=2112aa．【解】原式=222214421224222aaaaaaaaaaaaaa当a2－2a=1时，原式=2112aa．【例2】计算：11111111123420082342007……11111111123420082342007…+?+【分析】如果直接计算，运算量非常大，观察括号内的算式的特征．考虑用“整体替换”．2【解】设：11112342008a…+，11112342007b…+，则原式=a(1+b)－(1+a)b=a－b=12008．二、在方程中的应用【例3】(08绍兴)若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需__________元．【分析】设日记本、圆珠笔的单价分别为x元，y元，根据题意得方程组：2425xyxy，如果解出x和y再求4支圆珠笔、4本日记本需多少元完全可以，但只要我们细心观察只要将方程的两式相加得3x+3y=9，这样可得x+y=3，即圆珠笔和日记本的单价和为3，把它作为一个整体直接乘以4就能得到答案为12元．【解】D【例4】(08苏州)解方程：2221160xxxx．【分析】直接去分母解方程固然可以，但观察方程可以先用换元的方法简化方程．【解】设1xtx，则原方程可化为2t2+t－6=0，解方程得：t1=－2，232t，113x，x2=2，经检验113x，x2=2是原方程的解．三、在几何计算中的应用【例5】如图⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是0．5cm，则图中的阴影部分的面积是()A．12cm2B．8cm2C．4cm2D．6cm2【分析】由于不能求出各个扇形的面积，因此要将三个阴影部分作整体考虑，注意到三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角和为180°，又因为各个扇形的半径相等，所以阴影部分的面积就是半径为0．5cm的半圆的面积，即2210.528cm．选择B．【答案】B3综合训练1．当代数式a+b的值为3时，代数式2a+2b+1的值是()A．5B．6C．7D．82．用换元法解方程(x2+x)2+2(x2+x)－1=0，若设y=x2+x，则原方程可变形为()A．y2+2y+1=0B．y2－2y+1=0C．y2+2y－1=0D．y2－2y－1=03．当x=1时，代数式ax3+bx+7的值为4，则当x=－l时，代数式ax3+bx+7的值为A．7B．10C．11D．12()4．若方程组36133xykxy的解x，y满足0x+y1，则k的取值范围是()A．－4k0B．－1k0C．0k8D．k－45．(08芜湖)已知113xy，则代数式21422xxyyxxyy的值为_________．6．已知x2－2x－1=0，且x0，则1xx=__________．7．如果(a2+b2)2－2(a2+b2)－3=0，那么a2+b2=_________．8．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需________米．9．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________cm2．10．如图，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心、1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是__________．411．如图，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是________．12．若买铅笔4支，日记本3本，圆珠笔2支共需10元，若买铅笔9支，日记本7本，圆珠笔5支共需25元，则购买铅笔、日记本、圆珠笔各一样共需_________元．13．(08烟台)已知x(x－1)－(x2－y)=－3，求x2+y2－2xy的值．14．(07泰州)先化简，再求值：2224124422aaaaaa，其中a是方程x2+3x+1=0的根．15．阅读材料，解答问题．为了解方程(x2－1)2－5(x2－1)+4=0．我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－1=y，则原方程可化为y2－5y+4=0①．解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2－1=1，x2=2，2x；当y=4时，x2－1=4，x2=5，5x．12x，22x，35x，45x．解答问题：(1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用_______法达到了降次的目的，体现了________的数学思想；(2)用上述方法解方程：x4－x2－6=0．5参考答案1．C2．C3．B4．A5．46．27．38．2+2239．4910．211．212．513．原题化简得x－y=3，x2+y2－2xy=(x－y)2=32=9．14．解：原式=22222121222222aaaaaaaaaaa231322aaaaa是方程x2+3x+1=0的根，a2+3a+1=0，a2+3a=－1，原式=－12．15．(1)换元整体(2)设x2=y则原方程可化为y2－y－6=0，解得y1=3，y2=－20(舍去)当y=3时，x2=3，3x．原方程的解为3x．