常熟理工学院-高数A2-题库系列：第11章

第11章曲线积分第1页/共8页1．设曲线积分2222,CyxIdxdyxyxy，因为22222()PQyxyxxy，所以（B）A.对任意闭曲线C，0I;B.在曲线C不围住原点时，0I；C.因Py与Qx在原点不存在，故对任意的闭曲线C，0I；D.在闭曲线C围住原点时I=0，不围住原点时0I.2．设L表示椭圆12222byax，方向逆时针，则曲线积分Ldxyx)(2（D）A.πabB.2-πabC.2baD.03、设L是从点A（1，0）到点B（-1，2）的直线段，则曲线积分()Lxyds（B）A.2B.22C.2D.04.设L从点)1,1(A到点)0,1(B的直线，则下列等式正确的是（D）A.Lyds21B.Lxdy1C.Lxdx1D.Lydy215.设L为从点A（1，1）到点B（1，0）的直线，则下列等式正确的是（D）A.L21ydsB.L1xdxC.L1xdyD.L21ydy6．设L是从点A(1,0)到点B(-1,2)的直线段，则曲线积分()Lxyds(B)。A.2B.22C.2D.07．单连通域D内的函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则QdyPdxL在D内与路径无关的充要条件是在D内恒有（B）。A.0yPxQB.0yPxQC.0yQxPD.0yQxP8．单连通域D内的函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数，则QdyPdxL在D内与路径无关的充要条件是在D内恒有（D）。A.0yPxQB.0yQxPC.0yQxPD.QPxy9.设L是24yx从（0,0）到（1,2）的一段，则曲线积分Lyds（B）A.dxxx20241B.dyyy20241C.dxxx10241D.dyy1024110.若曲线积分L22)sin()3(dyyaxdxyx与路径无关，则常数a（B）。A.31B.3C.31D.311．设L是从点)0,0(到点)1,2(的直线段，则Lyds2(C)A.25B.5C.10D.21012．曲线弧AB上的曲线积分和BA上的曲线积分有关系(B)A.(,)(,)ABBAfxydsfxydsB.(,)(,)ABBAfxydsfxydsC.(,)(,)0ABBAfxydsfxydsD.(,)(,)ABBAfxydsfxyds13.设曲线L是22yx从(0,0)到(2,2)的一段弧，则曲线积分Lyds（C）A.35B.35C.)155(31D.53514.若曲线积分L22)sin()3(dyyaxdxyx与路径无关，则常数a（B）A.31B.3C.31D.315.设L是从点)0,0(到点)1,2(的直线段，则Lyds2(A)A.5B.25C.10D.21016.已知曲线积分LxdyydxyxF))(,(与积分路径无关，则),(yxF必满足条件（C）A.xyyFxFB.0xyyFxFC.yxyFxFD.0yxyFxF二、填空题（将正确答案填在横线上）1.设L为圆周422yx，方向为顺时针，则Lxdyydx24.2．设L是抛物线2yx上点A（0，0）与点B（1，1）之间的一段弧，则曲线积分Lyds155112.3．格林公式LDdxdyyPxQdyyxQdxyxP)(),(),(成立的条件是P,Q在D内有一阶连续偏导数.4.设(,)Pxy、(,)Qxy在xoy平面上具有一阶连续偏导数，则曲线积分LP(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关和PQyx，P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数的全微分是相互等价的.5．设L是xOy平面上点)0,0(A到点)2,1(B的直线，方向是从A到B,则曲线积分dyyL)1(=4.6．设L为xy上从点)1,1(到（0，0）的曲线弧，则Ldyx)1(43.7．设AB为由点),0(A到点)0,(B的直线段，则ABxdyydxsinsin0.8.设L为圆周422yx，方向为顺时针，则2Lydxxdy4.9.设L为从点(0,0)A到点(2,1)B的直线，则Lyds=253.10．已知有界闭区域D的边界是光滑曲线L，L的方向为D的正向，则用第二型曲线积分写出区域D的面积公式12Lxdyydx.三、解答下列各题(本大题共7小题，每题7分，共49分)1.求曲线积分22()d(sin)dLxyxxyy，其中L是在圆周222xyx上由点(0，0)顺时针到点(1，1)的弧段.解：设(1,1),(1,0)AB，取闭合曲线CLABBO令22,(sin)PxyQxy，则1PQyx由格林公式得，22()(sin)0Cxydxxydy第11章曲线积分第3页/共8页即222222()(sin)()(sin)()(sin)0LABBOxydxxydyxydxxydyxydxxydy……2分于是222222()(sin)()(sin)()(sin)LABBOxydxxydyxydxxydyxydxxydy……3分而:1,10ABxyy起终，:0,10BOyxx起终，从而0222131()(sin)(1sin)sin224ABxydxxydyydy022211()(sin)3BOxydxxydyxdx……5分因此2231171()(sin)sin2sin224364Lxydxxydy……7分2.求曲线积分Lxdyydxsin，其中)0(sin:xxyL与x轴所围曲线,取正向.解令点(,0)A，取闭合曲线LOAAO，:OA0,0yxx起终，:OAsin,0yxxx起终，……2分于是sinsinsinLOAOAydxxdyydxxdyydxxdy……4分00(sinsincos)odxxxxdx……6分2……7分3.求2L(2sin)()yxyxdxxyedy，其中L是xxy22上从点（0,0）到点（4,8）的弧段.解：积分沿曲线L为xxy22，x从0到4.……2分所以化为对x的积分2L3(sin)()xyxdxxydy4222032222()sin()()xxxxxxxxdx……5分432203642sinxxxxxdx44320324cosxxxx40343cos……7分4.计算yxxyLxdd)(e，其中L是从A(1，0)沿半圆周21yx逆时针到B(－1，0).解：令,xPeyQx则由格林公式，11()()xxLDQPdxdyeydxxdyedxxy……3分即11(11)()xxLDdxdyeydxxdyedx所以，11()xxLeydxxdyedx1ee……7分5.证明曲线积分(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值。解:由题意，知423Pxxyy，234Qxxxy所以2PQxyx，……2分在整个平面内成立，从而(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy与路径无关。……3分记(1,0),(2,0),(2,1)ABC，取积分路线为平行坐标轴的折线段，即,ABBC.(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy423423(23)(4)(23)(4)ABBcxyydxxxydyxyydxxxydy213103485dxydy……7分6.用格林公式计算Lxydydxyx3)(2，其中L为圆周xyx222上从点(0,0)O顺时针到点(2,0)A这段曲线.（不用格林公式不得分）解：令2Pxy，3Qxy，则2,3PQyyyx……2分取闭区域D由上半圆OA和线段AO围成则由格林公式22(()3()3)LAOxydxxydyxydxxydy(312)(5)DDyydxdyydxdy……3分2222200055(2)2xxdxydyxxdx5810(4)233……5分而2()3AOxydxxydy=022xdx故343)(2Lxydydxyx……7分7.求曲线积分Ldyxydxyx)635()42(，其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0），（3，2）的三角形边界正向.解：由题意，积分路线为三角形OMN的边界正向，则有……2分Ldyxydxyx)635()42(24536()()OMxydxyxdy24536()()MNxydxyxdy24536()()NOxydxyxdy……4分32031032220022452436xdxydyxxxxdx4545211022.……7分8.试计算dszyx2221，其中为曲线tttezteytex,sin,cos上相应于t从0变到2的这段弧.第11章曲线积分第5页/共8页解：'cos(sin)(cossin)tttxetetett'sincos(cossin)tttyetetett'tze……2分于是2222222201(cossin)(cossin)tttttettettedtee……4分22032ttedte……6分23(1)2e……7分9.计算22Lydxxdy，其中L是沿圆周222(0xyRxR）的正向闭路.解：令22,),,)PxyyQxyx（（则2,2PQyxyx利用格林公式，22(22)LDydxxdyxyd……3分其中D是：222(0xyRxR）上式2cos32022(cossin)2RddR……7分10.设L是从点（1，0，1）到点（0，3，6）的直线段，试求三元函数的第一类曲线积分L2zdsxy.解直线的方程为11135xyzt…2分则1351xtytzt，……4分于是L2zdsxy=120(1)9(51)1925tttdt=335……7分11.计算()Lxydxyxdy，其中L的起点为(1,1)A，终点为(2,3)B，路径分别为（1）直线21yx；（2）折线ACCB，C点为(2,1)C.解：（1）直线AB的方程是21yx，x从1到2.……1分所以化为对x的积分21()2121Lxydxyxdyxxxdx……3分22122xxdx232121232xxx256……4分（2）()()()LACCBxydxyxdyxydxyxdyxydxyxdy……6分在AC上1y，x从1到2，所以213()2ACxydxyxdyxdx8在CB上2x，y从1到3，所以31()20CBxydxyxdyydy从而3()2Lxydxyxdy.……8分12.用格林公式和二重积分二种方法计算Dxdxdy，其中D是以)2,2(),0,2(),0,0(BAO为顶点的三角形区域.解：（1）