常熟理工学院-高数A2-题库系列：第12章

第12章无穷级数第1页/共10页1.下列级数中发散的是(D)A.11(1)nnnB.12!nnC.11(1)nnnD.1(1)nn2．下列级数中发散的是（D）A.21121nnB.1325nnnnC.211nnnD.)11001(21nn3．下列幂级数中收敛域为[1,1]的是（A）A.nnxn121B.nnxn11C.nnnxn1)1(D.1nnx4.级数2lnlnlnnxxx的收敛域是(C).A.xeB.xeC.1xeeD.0xe5．设k是非零常数，则级数021)1(nnnk（B）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与k有关6.下列级数中收敛级数是（A）A.3251nnnB.1121nnC.121nnnD.)11(12nn7.级数)0(1)1(1pnnpn的敛散情况是（A）。A.1p时绝对收敛，1p时条件收敛B.1p时绝对收敛，1p时条件收敛C.1p时发散，1p时收敛D.对任何0p，级数绝对收敛8．下列级数中条件收敛的是（D）。A.111nnnnB.11nnnC.1211nnnD.111nnn9．当1||x时，幂级数013)1(nnnx的和函数为（B）A.31xxB.31xxC.31xxD.31xx10.级数1211)1(nnn（B）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不确定11.设级数125npn收敛,则常数p满足(B).A.51pB.51pC.5pD.5p12.若级数1nnu收敛，则级数1)1(nnnu（D）A.收敛但不绝对收敛B.绝对收敛C.发散D.敛散性不确定13.若无穷级数111nan收敛，则a满足（B）A.0aB.0aC.1aD.1a14．下列级数中收敛的为（C）Ch12anA.11nnB.1121nnC.110021nnnD.112nn15.设级数nnn11(1)n(1)()n,则该级数(A)A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.不确定16.若级数1nna收敛，则下列正确的是（C）A.110)10(nna收敛B.1)1(nnna绝对收敛C.1)1(nnna发散D.1||nna收敛17.下列级数中有（D）是收敛的。A.1211nnB.11sinnnC.0)2ln(1nnD.12)1(1nnnn18.若无穷级数111ann收敛，则a满足（B）A.0aB.0aC.1aD.1a19.下列级数条件收敛的是（C）A.11)1(nnnnB.1)1(1)1(nnnnC.11)1(nnnD.121)1(nnn二、填空题1．级数11(1)2100nnn是条件收敛（发散，条件收敛，绝对收敛）的.2.幂级数11nnnnx的收敛域为11(,].3.函数41)(xxf展开成)1(x的幂级数为011,2,433nnnxx.4、幂级数nnnx021的和函数为．2222,xx.5．幂级数21121nnnx的收敛半径为R=2.6.设幂级数0nnnxa的收敛半径是4，则幂级数0n1n2nxa的收敛半径是R=2.7.幂级数nnnxn511的收敛半径R=5.8．幂级数nnnxn)1(511的收敛半径为5.9．级数311nn是收敛的，其和为12.10．幂级数12nnnxn的收敛域为1122(,).第12章无穷级数第3页/共10页11.幂级数023nnnxn的收敛半径为13.12.级数123nn是收敛的，其和为3.13.幂级数nnnxn)1(511的收敛域为[4,6).14.幂级数012nnnx的收敛域为(2,2).15.如果幂级数nnnxa10的收敛半径是1，则级数在最大的一个开区间(0,2)内一定收敛.16.幂级数113nnnxn的收敛半径为R=3.17．幂级数13)1(nnnnx的收敛半径为3.18．幂级数12)1(1nnxnn的收敛区间是20,(不考滤端点).19．级数11nnnx的和函数)(xS21,1,1(1)xx.三、解答下列各题1.判断级数212!3nnnn的敛散性（必须给出解题过程）.解：令22!3nnnnu……1分由于12limlim(1)9nnnnunu……4分1故所给级数发散2.判断级数11(1)nnnn的敛散性（必须给出解题过程）.解：因为3211(1)(1)nnnn……2分而级数3221(1)nn收敛……5分由比较判别法知，级数11(1)nnnn收敛……7分3.判别级数13sin2nnn的敛散性（必须给出解题过程）.解：令22sin,()33nnnnnuvCh12an2sin3limlim2()3nnnnnnnuv……4分而2()3nnv收敛故2sin3nn收敛……7分4.判别级数1)11ln()1(nnn是否收敛，如果收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？解：由题意，11lnnnu因为当n时，110lnn，且11111ln()ln()nn，……3分所以由莱布尼茨判别法，知1111lnnnn收敛。……4分又因为1111limlimlnlimnnnnnnunnn故1nnu发散，所以该级数条件收敛。……7分5．判别下列级数的敛散性(必须给出解题过程).（1）nnnsin11；（2）12!nnn.解：（1）假设该级数收敛，则有0limnnu……2分而1111sinlimlimsinlimnnnnnnnun所以和假设矛盾，故级数发散。……4分（2）因为1112122!!nnnnnunun……6分所以112limlimnnnnunu故该级数发散。……8分6.用部分和数列证明11(1)nnn是收敛的，并求出级数的和。解：由于11111nunnnn，……2分因此11112231nsnn1111112231nn111n……4分从而1limlim111nnnsn，所以这级数收敛，它的和是1.……7分第12章无穷级数第5页/共10页7．判别级数nnnn1576的敛散性.解：因为576nnnnu……1分所以1111576765limlimnnnnnnnnnnuu……2分1176576limnnnnn67167157limnnn……5分517所以该级数收敛。……7分8.试讨论级数1)0(11nnaa的敛散性.解：1）1a时，111112nnna显然是发散的；……2分2）1a是，有111111111limlimlimnnnnannnnnauauaaa，则收敛；……4分3）1a时，有111limlimnnnnua，则该级数发散；……6分综上可知，当1a时，该级数发散；当1a时，该级数收敛。9.求幂级数13nnnxn的收敛域（要讨论端点）．解：因为111113(1)limlimlim1133(1)3nnnnnnnanann于是收敛半径13R……3分对于端点3x，级数成为11313nnnnnn发散对于端点3x，级数成为交错级数11(3)(1)3nnnnnnn收敛……7分证明正项级数13()4nnn是收敛的.证明：由于113(1)()34limlim134()4nnnnnnnaan……4分所以，正项级数13()4nnn是收敛的……6分10.设12nna收敛，试证明：1nnna绝对收敛.Ch12an解：22112nnaann……2分又12nna收敛，且211nn也收敛，所以]1[21221nann也收敛，……4分由比较审敛法，知1nnan收敛.故1nnna绝对收敛.……6分11.将函数xxfarctan)(展开成x的幂级数.解：由于xxfarctan)(，所以21()1fxx.……2分而211x是收敛的等比函数201nnnx的和函数：2422111111nnxxxxx……4分所以将上式从0到x逐项积分，得3521()arctan1113521nnxxxfxxxxn……6分12.在区间)1,1(内求幂级数01nnnx的和函数.解：令11nan，则11limlim12nnnnanan，故1R……1分于是，当1x时级数收敛当1x时，级数11n发散当1x时，级数(1)1nn收敛因此，收敛区间为[1,1)……3分令0()1nnxsxn当0x时，()0sx……5分当0x时，令110()1nnxsxn两边求导得，1''1001()()11nnnnxsxxnx两边从0到x积分得，101()ln(1)1xsxdxxx从而1()ln(1)()sxxsxxx因此，0,0(),110ln(1)xsxxxxx且……7分第12章无穷级数第7页/共10页13.将函数)21ln(2xx展开成x的幂级数。解：2ln(12)ln(1)ln(12)xxxx……1分又231ln(1)[-1,1)231nxxxxxn2311122222ln(12)2(1)(-,]231nnxxxxxn……3分2312ln(12)231nxxxxxxn2312222(1)231nnxxxxn1122(-,]……5分即2321ln(12)57(1)(2)1231nnnxxxxxxn1122(-,]……7分14.在区间)1,1(内求幂级数01nnnx的和函数.解：令11nan，则11limlim12nnnnanan，故1R……1分于是，当1x时级数收敛当1x时，级数11n发散当1x时，级数(1)1nn收敛因此，收敛区间为[1,1)……3分令0()1nnxsxn当0x时，()0sx……5分当0x时，令110()1nnxsxn两边求导得，1''1001()()11nnnnxsxxnx两边从0到x积分得，101()ln(1)1xsxdxxx从而1()ln(1)()sxxsxxx因此，0,0(),110ln(1)xsxxxxx且……7分15．将xxf211)(展开成关于1x的幂级数.解：1()12fxx1321xCh12an231131(1)x，……2分又因为)1,1(,1112