6-8隐函数存在定理

6-8隐函数存在定理.0),,(,0),,(vuxGvuxFy=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数.由方程组.0),;,(,0),;,(vuyxGvuyxF.),(),,(uu称为隐函数确定的一组二元函数yxvvyx可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?由方程组首页下页尾页上页本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当C0时,能确定隐函数;当C0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.1.一个方程的情况定理1设在一点的邻域内有定义.且满足下列条件:,Fxy000,Pxy001,0;Fxy00,,Fxfxxxx0,,则在的某个邻域内存在一个函数y=f(x),使得且0x00,xx00yfx并且内有连续的导函数00,yfxxx在,.,xyFxyfxyfxFxy,0),(),(),(F)2(00xyxFyxFyxyy连续，且及首页下页尾页上页定理证明从略，仅就求导公式推导如下：两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则首页下页尾页上页例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数.0ddxxy解令,1sin),(yxeyyxFx,0)0,0(F,yeFxx连续,由定理1可知,1)0,0(yF0①导的隐函数则xyFycos②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求0ddxxy0xFFyxxycosyex0,0yx定理2设在点的某邻域内有连续的偏导数,且,,Fxyz0000,,Mxyz000000,,0;,,0,zFxyzFxyz00,,,,Fxyzxyzxy00,=z,且有连续偏导数:,zxy则在点的某个邻域内,方程唯一确定一个隐函数满足00,xy,,zzxy,,0Fxyz,.yxzzFFzzxFyF定理证明从略,仅就求导公式推导如下:首页下页尾页上页0)),(,,(yxfyxF两边对x求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得则zFxz0首页下页尾页上页例2解法1利用公式.令则,xzxzeyF,zxFy,xzzxeyFzxFFxz,xzxzxeyzeyzyFFyz.xzxeyzx首页下页尾页上页解法2利用隐函数求导方程两端关于x求偏导，得xz,xzxzxeyzey方程两端关于y求偏导，得yz.xzxeyzx说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作x,y的函数：z=z(x,y).首页下页尾页上页例3求由方程解设u=x-y,v=y-z.为了方便起见,引入记号首页下页尾页上页2.方程组的情况.0),,(,0),,(vuxGvuxF可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?,0F0),(Fy的函数，要有条件解为将由方程xyyx0Fy现在的情况下相当于的条件是什么？先介绍线性代数中的克莱姆法则二元一次方程组,,fdycxebyax.,,,,,为常数其中fedcba当其系数行列式dcbabcad0首页下页尾页上页且其解为时，方程组有惟一解，1xdcbadfbe2ydcbafcea;bcadbfed.bcadecaf,,fdycxebyax克莱姆法则告诉我们：二元一次方程组有惟一解.0,),,(Fbvauexvux设,),,(Gdvcufxvux.0),,(,0),,(vuxGvuxFu=u(x),v=v(x)我们的问题相当于解方程组.,fxdvcuexbvau方程组有惟一解dcbabcad0首页下页尾页上页,Fua注意到,Fvb,Guc.Gvd当F及G是一般函数时，需要下列条件),(),(vuDGFDJvuvuGGFF行列式称作F,G的雅可比行列式..0定理3000000000,,,,,,,,0,,,0,FxuvGxuvxuvFxuvGxuv设及在一点的某个邻域内有连续的一阶偏导数,且,,0,,,0,FxuxvxGxuxvx在点的一个邻域内存在唯一的一对可微函数使得且满足方程组0xuux0000,uuxvvx及vvx及uuxvvx及的导函数由下列方程组求出0,0,FFduFdvxudxvdxGGduGdvxudxvdx证明略,FG又设的雅可比行列式,,uvuvFFDFGJGGDuv000,,0,xuv在点处不等于则首页下页尾页上页定理3的推广考虑方程组：0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu时，当0),(),(vuvuGGFFvuGFJ,xu求,xv.yv,yu首页下页尾页上页,,的线性方程组这是关于xvxu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对x求导得设方程组,0vuvuGGFFJ在点P的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0故得系数行列式首页下页尾页上页同样可得),(),(1vyGFJyuvuvuvxvxGGFFGGFFxu),(),(1yuGFJyvvuvuxuxuGGFFGGFFxvxuxvxuxvuFvFxFxGuGvG),(),(1vxDGFDJ),(),(1xuDGFDJ首页下页尾页上页例4由方程组0,02222vuxyuvyx能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求.,,,yyxxvuvu解),(),(vuDGFDJvuuv22).(222vu也就有不同时为零时满足上述方程组的当,,)0,0(),(vuyx，0J).,(),,(),(yxvvyxuuyx的邻域内能确定隐函数从而在方程组两边对x求导，并移项得.22,2yvvuuxuvvuxxxx首页下页尾页上页方程组两边对x求导，并移项得.22,2yvvuuxuvvuxxxx0,02222vuxyuvyx用克莱姆法则解方程组xuvuuvvyux2222,)(2422vuyuxvxvvuuvyuxv2222,)(2422vuyvxu.022vu方程组两边对y求导，并移项得.22,2xvvuuyuvvuyyyy解得yu,)(2422vuxuyvyv.)(2422vuxvyu首页下页尾页上页xvvygxugxvxvfuxxufxu2)1()(2121解以为未知数的方程组，得xvxu,122111112211221121)1()12)(1()12(gfyvgxfufxfgxvgfyvgxfgfyvgufxu,,)vx,-g(uvy)vf(ux,u2具有一阶连续偏导数其中设gfy补例.,xuxv求解注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.首页下页尾页上页内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习设求首页下页尾页上页zx提示:),(zyxzyxfzxz1fxz12fxzyxzyxz21fzyf211fyxf•11f1zx2fyxzxzy•211fyxf21fzyfyx01f1yx2fzxyxzy•21fzxf21fzyf首页下页尾页上页),(zyxzyxfz解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.,yxzd1fzyxddd2fzyxyzxxzyddd:dx解出dx21fzyfzfyxfd121yfzxfd21.zx由dy,dz的系数即可得习题6-8(2)(4);3.5.7.8.10..11.