数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E⊂R2,函数F:E→R2.如果存在集合I,J⊂E,对任何x∈I,有惟一确定的y∈J,使得(x,y)∈E,且满足方程F(x,y)=0,则称F(x,y)=0确定了一个定义在I上,值域含于J的隐函数.若把它记为y=f(x),x∈I,y∈J,则有F(x,f(x))≡0,x∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线，∴要使隐函数存在，至少要存在点P0(x0,y0),使F(x0,y0)=0,y0=f(x0).要使隐函数y=f(x)在点P0连续，需F在点P0可微，且(Fx(P0),Fy(P0))≠(0,0),即曲面z=F(x,y)在点P0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P0可微,则在F可微的假设下，通过F(x,y)=0在P0处对x求导，由链式法则得：Fx(P0)+Fy(P0)0xxdxdy=0.当Fy(P0)≠0时，可得0xxdxdy=-)(PF)(PF0y0x,同理，当Fx(P0)≠0时，可得0yydydx=-)(PF)(PF0x0y.三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数Fy(x,y)；(4)Fy(x0,y0)≠0.则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x),使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0),且F(x,f(x))≡0,y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4),不妨设Fy(x0,y0)0(若Fy(x0,y0)0,则讨论-F(x,y)=0).由条件(3)Fy在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D,使得在其上每一点都有Fy(x,y)0.∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)0,F(x0,y0+β)0.又由F的连续性条件(1),知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0α≤β,当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)0,F(x,y0+β)0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)0,F(x,y0+β)0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β),满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α),值域含于(y0-β,y0+β),若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β),则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x,y=f(x).则由上述结论可知,y0-βyy0+β.∀ε0,且ε足够小，使得y0-β≤y-εyy+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)0,F(x,y+ε)0.根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α),使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)0,F(y,y+ε)0,∴存在惟一的y,使得F(x,y)=0,即y=f(x),|y-y|ε,即当|x-x|δ时,|f(x)-f(x)|ε,∴f(x)在x连续.由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0,在点(0,0)不满足条件(4)(Fy(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0,虽然F(0,0)=0,F与Fy均连续，满足条件(1),(2),(3),但Fy(0,0)=0,致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变Fx(x,y)连续，且Fx(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D上还存在连续的偏导数Fx(x,y),则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x0-α,x0+α)上有连续导函数，且f’(x)=-y)(x,Fy)(x,Fyx.证：设x,x+△x∈(x0-α,x0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y0-β,y0+β),∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0,由Fx,Fy的连续性及二元函数中值定理有,0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=Fx(x+θ△x,y+θ△y)△x+Fy(x+θ△x,y+θ△y)△y,0θ1,∴xy=-y)θyx,θ(xFy)θyx,θ(xFyx,右端是连续函数Fx,Fy,f的复合函数,且在U(P0)上,Fy(x,y)≠0，∴f’(x)=xylim0x=-y)(x,Fy)(x,Fyx,且f’(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数.即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有Fx(x,y)+Fy(x,y)y’=0,由Fy(x,y)≠0可推得f’(x)=-y)(x,Fy)(x,Fyx.2、若函数F存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数.如：对Fx(x,y)+Fy(x,y)y’=0继续应用复合函数求导法则，可得Fxx+Fxyy’+(Fyx+Fyyy’)y’+Fy(x,y)y’’=0,就可以得到隐函数的二阶导数：y”=3yyy2xxx2yxyyxFFF-FF-FF2F；也可以直接对f’(x)=-y)(x,Fy)(x,Fyx求导得到.继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y’=-y)(x,Fy)(x,Fyx及y”=3yyy2xxx2yxyyxFFF-FF-FF2F,求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y’为0的点(驻点)A，即方程组F(x,y)=0,Fx(x,y)=0的解；(2)∵在A处Fx=0,∴y”|A=-yxxFF|A；(3)由y”|A0(或0),判断隐函数y=f(x)在xA处取得极大值(极小值)yA.定理18.3：若(1)函数F(x1,…,xn,y)在以点P0(01x,…,0nx,y0)为内点的区域D⊂Rn+1上连续；(2)F(01x,…,0nx,y0)=0；(3)偏导数1xF,…,nxF,Fy在D上存在且连续；(4)Fy(01x,…,0nx,y0)≠0.则1、存在点P0的某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x1,…,xn,y)=0惟一地决定了一个定义在Q0(01x,…,0nx)的某邻域U(Q0)⊂Rn上的n元连续(隐)函数y=f(x1,…,xn),使得当(x1,…,xn)∈U(Q0)时,(x1,…,xn,f(x1,…,xn))∈U(P0),且F(x1,…,xn,f(x1,…,xn))≡0,y0=f(01x,…,0nx)；2、f(x1,…,xn)在U(Q0)上有连续偏导数1xf,…,nxf,且1xf=-yxFF1,…,nxf=-yxFFn.四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性.解：∵F,Fx=-1,Fy=1-21cosy在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0,Fy(x,y)≠0,∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x),且f’(x)=-y)(x,Fy)(x,Fyx=cosy21-11=cosy-22.例2：讨论笛卡儿叶形线x3+y3-3axy=0(a0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x3+y3-3axy(a0),当Fy=3y2-3ax=0时，x=y=0,或x=34a,y=32a;即，除了(0,0),(34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵Fx=3x2-3ay,∴y’=-yxFF=-3ax-3y3ay-3x22=ax-yx-ay22.又Fxx=6x,Fxy=-3a,Fyy=6y,∴2FxFyFxy=-54a(y2-ax)(x2-ay),Fy2Fxx=54x(y2-ax)2,Fx2Fyy=54y(x2-ay)2,∴y”=3yyy2xxx2yxyyxFFF-FF-FF2F=32222222ax)-27(yay)-54y(x-ax)-54x(y-ay)-ax)(x-54a(y-=3233322ax)-(y)]ayxy(xy2[-3ax-=32322ax)-(y)]aaxy3xy(y2[-3ax-=-323ax)-(yxy2a.由x3+y3-3axy=0和x2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y”|A=-323ax)-(yxy2a|A=-a2430,∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz3+x2+y3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0,Fz(0,0,0)=-1≠0,F,Fx,Fy,Fz处处连续，知方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y),且zx=-zxFF=233xyz1x2yz,zy=-zyFF=2233xyz1y3xz.又zx(0,1,1)=1,zy(0,1,1)=3,∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x0的某邻域上有连续的导函数f’(x)且，且f(x0)=y0,f’(x0)≠0.证明在y0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数.证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0.∵F(x0,y0)≡0,Fy=1,Fx(x0,y0)=-f’(x0)≠0,∴该方程在y0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且g’(y)=-xyFF=-(x)f1(即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F具有二阶偏导数.试证：zxx+2zxy+zyy=0.证：记u=x-z,v=y-z,则Fx=Fu,Fy=Fv,Fz=-(Fu+Fv),∴zx=vuuFFF,zy=vuvFFF,即有zx+zy=1.上式两边分别对x,y求偏导，得zxx+zyx=0,zxy+zyy=0.∵二阶偏导数连续，∴zyx=zxy，∴zxx+2zxy+zyy=0.习题1、方程cosx+siny=exy能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-exy,则有F(0,0)=0.∵Fx=-sinx-yexy,Fy=cosy-xexy,又F,Fx,Fy在原点的某邻域内都连续，且Fx(0,0)=0,Fy(0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x),不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+exz=1在点(0,1,1)的某邻域内能否确