华南农大高数第6章-行列式和矩阵1

行列式与矩阵n阶行列式的概念行列式的性质与计算Cramer法则第六章矩阵及其计算逆矩阵与矩阵的秩分块矩阵矩阵的初等变换n阶行列式第一节学习重点余子式与代数余子式的概念n阶行列式的概念●行列式的引入引例：用加减消元法求解二元线性方程组11112212112222axaxbaxaxb122211112221221aaxaaabab121121211122122aaxaaabab当112212210aaaa时方程组有唯一解122212111221221babaxaaaa211121211221221babaxaaaa如果规定1112112212212122aaaaaaaa则有D1DD2DD●二阶行列式determinant定义abadbccdabcd例根据定义计算行列式的值6(3)2(5)6253cossinsincos22cos(sin)主对角线元素之积减去副对角线元素之积——对角线法则81●三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233aaa对角线法则11a12a13a21a22a23a31a32a33a122331aaa132132aaa132231aaa122133aaa112332aaa例根据定义计算行列式的值514321202522对角线法则1(1)(2)3243042(2)1325(1)0111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332aaaaaaaaaaaaaaaaaa112233233212213323311321322231()()()aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa111213212223313233aaaaaaaaa111112121313aAaAaA1212(1)M21233133aaaa12M12A元素的余子式12a元素的代数余子式12a●余子式元素的余子式就是在行列式中划掉元素所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式ijaijaijM●代数余子式ijA(1)ijijijAM三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和●n阶行列式的定义（P222定义1）212211221112nnnnnnaaaaaaaaa1112111121nnAAaaAa111njjjaA按第一行展开1030201030010102例根据定义计算行列式的值110101(1)0011021325132003(1)301012下三角形行列式21313124142431223344000000aaaaaaaaaa11223344aaaa逐次按第一行展开下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积特别11223344000000000000aaaa11223344aaaa111213212223313233aaaaaaaaa122331111223213212213331123312233132aaaaaaaaaaaaaaaaaa211231131332223331122313233222())(()aaaaaaaaaaaaaaa222311323121321121331222323333aaaaaaaaaaaaaaa213131121111aAaAaA三阶行列式等于第一列所有元素与其代数余子式乘积之和●定理121221121122nnnnnnaaaaaaaaa1111211121nnAAaaAa111niiiaA按第一列展开上三角形行列式12131411222333243444aaaaaaaaaa11223344aaaa逐次按第一列展开上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积1230001030010102例计算行列式的值110101(1)00110213411312303(1)010102按第一列展开行列式的性质及计算第二节学习重点行列式的性质行列式的按行按列展开定理1、转置变换212111221212nnnnnnnaaaDaaaaaa211222211121nnnnnnaaaaDaaaaa或记作TD●行列式的几种变换行、列对掉iirc称为行列式的转置行列式TDDTranspose行变row列变换column交换i,j两行数K乘第i行数K乘第j行后加到第i行上去ijrrikrijrkr交换i,j两列数K乘第i列数K乘第j列后加到第i列上去ijccikcijckc2、换法变换3、倍法变换4、消法变换换法变换倍法变换消法变换●行列式的性质1.行列式转置后，其值不变。表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有2.互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=03.行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数K，等于用数K乘此行列式。推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0推论3：如果行列式D有两行（列）的元素对应成比例，则D=0推论1:行列式中某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式符号的外面。4.如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成两个行列式之和。aabbababcdcdcd5.把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数k后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式的值不变。如即123123123112233123123aaaaaabbbbkabkabkacccccc交换i,j两行数K乘第i行数K乘第j行后加到第i行上去ijrrikrijrkr交换i,j两列数K乘第i列数K乘第j列后加到第i列上去ijccikcijckc2、换法变换3、倍法变换4、消法变换换法变换倍法变换消法变换1、转置变换行与列对调iirc等值变号翻倍等值变号翻倍等值利用行列式的性质计算行列式的值31125134201115331312153402115133131202110842016271312084202110162712cc21rr415rr23rr324rr428rr1312021100820010151312021100822500024354rr251282200●行列式的展开与计算定理行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。111212122212nnnnnnaaaaaaaaa1212iiiniiinAAaaAa(1,2,,in）1nijijjaA1nijijiaA1212jjnjjjnjAAaaAa(1,2,,jn）推论行列式中某一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。1212kkikniinaaAAaA()0()Dikik1212ssjnsjnjaaAAaA()0()Djsjs小结行列式按行展开得D，串行展开得零。例题1、计算行列式的值2、设有行列式2132333231123131D（1）（2）1020143602533110D2132332203403131DA11、A12、A13、A14分别是D的第一行元素的代数余子式，试求3A11-A12+3A13-A14的值。解答1、（1）原式123233321312133112CC213rr31rr41rr1232036401400103按第一列展开11364(1)(1)140103214cc3184100143按第二行展开211841(1)431(18)(3)(4)470解答1、（2）原式10201013002533110232rr341023(1)1013311按第四列展开321231(1)113按第二列展开3(132)452、将代数式还原成行列式，得1112131433AAAA313133220340313101、计算下列行列式111111111111（1）abcdabdcbadcbacd（2）2、证明：Vandermonde行列式122221211112111nnnnnnaaaaaaaaa1()jinjixx课堂练习答案1、（1）331（2）02、提示：用数学归纳法，后一行减去前一行的倍1a小结行列式的计算方法：一般是先利用性质，用消法变换将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。作业：P2512（1）3（4）、6（2，3）、7预习第三节、第四节