小波变换及应用毕业论文

1小波变换以及应用引言小波分析是80年代中后期发展并成熟起来的一种信号处理分析方法，它有效完成了信号的时间与空间的局部化，对于信号处理是一个强有力的方法。图像是多媒体系统中非常重要的一部分，相当多的多媒体信息是以静止图像和动态视频图像的信息表达出来的。人们为了更好地在多媒体创作中使用图像，就必然要研究图像的压缩和如何丰富图像的表现效果。本文对小波变换做了简单的介绍并简单地介绍了小波变换在图象边缘析取、图象压缩和图象拼接和镶嵌方面的应用。小波分析的起源长期以来，无论是信号处理界，还是数学界，人们力图寻求信号表示方法，综合三角函数系与Haar系两者优点的某种函数来分解任意函数。我们知道，这两个函数系在以下意义上占据了两个极端位置。三角函数系中的函数在频率即在Fourier变量域上是完全局部化的，但在空间或时间域上无任何局部性却很差，这是因为它缺乏正则性与震荡性所致。我们都曾使用过傅立叶变换，都知道傅立叶变换能把信号分解成各种频率的正弦和余弦函数，也就是说它能实现频率的局部化，但大家有是否注意到它所分解出的每个三角函数的有效域都是（-∞,+∞），也就是说它在时间域上无任何局部性可言，可是，我们所面对的各种信号如图象、地震波等往往有着强烈的局部相关性，要研究处理这些相关性，就需要更好的数学工具，小波分析正是在这个背景下发展起来的。它有效地分析了信号时域与频域的局部性，成为信号分析的一个强有力的方法。所谓“小”，正是指小波函数在时域上的局部性，所谓“波”正是指小波函数的波动性也就是说在频域上的局部性。小波分析的方法的提出，可以追溯到1910年Haar提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Parley对Fourier级数建立的L-P理论，即按二进制频率2成分分组Foureier变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。其后，Calderon于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H1的原子分解，这个公式后来成了许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一正交系的结论。1981年Stromberg对Haar系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1982年Battle在构造量子场理论中使用了类似Calderon再生公式的展开。值得注意的是，1984年法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因此他引入小波概念于信号分析中对信号进行分解。随后，理论物理学家Grossman对Morlet的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系}0,,:}(|{|2/1aRbaabxa展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。真正的小波热开始于1986年，当时Meyer创造性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，其二进制伸缩与平移},:)2(2)({2/,Zkjkttjjkj构成L2(R)的规范正交基。在那以前，人们或许认为具有如此好性质的小波函数时一个数学神话而对其存在性发生了动摇。事实上，Daugechies、Grossman和Meyer在此之前的工作就退而研究函数ψ及数a0与b0使函数系)(||0020kbtaajj构成L2(R)的框架的条件去了。继Meyer提出小波变换以后，Lemarie和Battle又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换及重构，从而成功地统一了在此之前的Stromberg、Meyer和Battle提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法——现今称之为Mallat算法有效地应用于图象分解与重构。与此同时，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基这样，小波分析的系统理论初步得到建立。1988年，Arneodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究遄流及分形生长现象。1990年崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生长函数及相应的小波函数。也是1990年Beylkin,Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年，Jaffard及Laurencot将小波变换应用于偏微分方程数值解，而Wickerhanser等将Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法。其后，秦前清将小波变换作为研究分形理论的工具，并于1992年初指导刘军将小波变换运用于分形地貌图预处理并取得了令人满意的效果。3小波变换定义及其性质定义1设12LL且0)0(，则按如下方式生成的函数族{ψa,b}}0{,),(||)(21,RaRbabtatba（1）叫分析小波（AnalyzingWavelet）或连续小波，ψ叫基本小波或母小波（MotherWavelet）。若ψ使双窗函数(Double-windowFunction)。就叫ψ为窗口小波函数，今后我们恒假定ψ为窗口小波函数。连续小波提供的局部化格式使变换着的，表现在高频处的时间分辨率高。即具有“变焦”（Zooming）特性，这一特性决定了它在突变信号处理上的特殊地位及功能。现在我们来讨论连续小波变换下信号处理的基本性质。定义2设ψ是基本小波，{ψa,b}是按（1）式给出的连续小波，对2Lf，信号f的连续变换Wf(b,a)定义为RbafdtabttfafbaW)()(||,),(21,(2)定义3设12LL且满足：（*）RdC|||)(|2则ψ叫做允许小波(AdmissionWavelet),而条件（*）被称为允许条件(AdmissibleCondition)。注意到条件（*）蕴含着0)0(，因此允许小波一定是基本小波。反过来，若)0(|)|1(|)(|1tCt，且0)0(，则允许条件（*）成立。特别地，双窗口函数一定是允许小波，对于有允许小波产生的信号的连续小波变换，我们有如下关系式。定理1设ψ是允许小波，则对一切),(,2dtRLhf，有hfCdbadabaWbaWkRf,),(),(22（3）另外，对任意RtLf,2，若f在t处连续，则：422,)(),(1)(RbafdbadaxbaWCtf（4）有时，为了数学上的方便起见，我们常用如下定义。定义4我们把下列变换Wf(s,x)定义为),(2dtRLf的小波变换RssdtstxtfsxfxWfxsWf)()(1)(*)(),(（5）其中)0)((1ssxss（6）注意到，这里的定义在形式上虽与前面的定义有所不同，主要在于：（1）伸缩系数不同；（2）用卷积代替了相关。但它们之间是可以相互转换的。不难验证，以下函数是基本小波：（1）Haar小波其他,121,210,011)(xxx(2)墨西哥帽状小波xexxx,21)1()(222上面我们引入了连续小波及其概念变换的概念及性质。在实际应用中，特别是在计算机实际上，往往需要把上面提到的连续小波及其变化离散化，作为一种方便的形式，则是对变换进行二进制离散。把经过这种离散化后的小波和相应的小波变换，称之为二进小波和二进小波变换。定义5函数12LL被称为是一个二进小波(DyadicWavelet)，若存在二常数BA0使得：ZKkA2|)2(|Ba.e.(7)条件（7）式被称为稳定条件(StabilityCondition)。若A=B，则称为最稳定条件，而函数序列zkfWk}{2叫做f的二进小波变换，其中5RkkdtxtfxfxfWkk)2()(21)(*)(22（8）由卷积定理，我们有：)2()()(2kffWk（9）由此（7）式等价于，对任意),(2dtRLf有：2222222fBffAzjj（10）下面定理说明，二进小波一定是一个允许小波。定理2设ψ是一个二进小波，则它一定是一个允许小波，且2ln|)(|,|)(|2ln22BddARR（11）A=B时有：RAdC2ln2|)(|2(12)定理3由（7）式给出的算子V是I2(L2)到L2的有界线形算子，而且WV是I2(L2)到W(L2)的正交投影算子。为了数学上的完美及实际运用的方便起见，我们引进下面概念及事实：定义6设2}{Lzkk，若对一切2Lf，存在与f无关的常数BA0，使得222|,|fBffAZkk（13）成立，则称Zkk}{是空间L2的一组标架(Frame),B,A分别称为此标架之上，下界。为讨论标架的性质，我们引进算子}||,}{{)(:2222kZkkCCLILT（14）ZkkZkkfCf},{}{（15）我们称T为标架算子。定理4Zkk}~{也是L2中的标架，称之为标架Zkk}{的共轭标架，其上下界分别为A-1和B-1，且其标架算子为21,)(~LfTTTT有：6zkkkzjjsff~,~,（16）定理5紧标架成为正交基的充要条件是：A=1,且1l对一切Zl定义7如Zkjkj,,}{构成L2的一个标架，则标架的上、下界B,A满足下面的不等式BdbAR120|||)(|2ln21（17）下面讨论一下数字信号的二进小波变换假设Znnd}{是一个数字信号，不妨假定它由采样而得，适当选用时间单位，在数学上我们总可以认为采样密度为1，则我们可以以下面方式把}{nd模拟化。即令)(*nfdn其中2Lf这样得f的确存在的，即我们有：定理8任取2}{ldZnn，则存在2Lf使得)(*nfdn(18)定义8设2}{ldZnn，f为满足条件ndnf)(*的函数，其中满足)2()2(|)(|12jjj（19）则称,1,)}({22jfWnfWdZnjj为Znnd}{的离散二进小波变换。图象的小波的变换处理我们知道，在处理实际问题是，作为一种新的处理工具，它必须具备以尽可能少的数据反应该信号的尽可能多的信息，这其间当然包括尽可能消除混杂在信号中的噪声。我们发现小波变换确有这些优良特性71、二进小波变换对边缘析取和回复的影响我们主要定性地讨论一下二进小波变换对图象边缘析取和回复图象的影响。如以前分析过的，为了析取更精细的奇异性（即Lipschitz指数α1）,则所选的小波函数应有较高阶的消失矩，从而其支集也相应变大。这时，由二进小波变换极值所测定的奇异点位置往往不是图象奇异点的正确位置，也就是会发生边缘偏移现象。反之，若选取支集较小的小波函数作为二进变换，则边缘偏移的现象将大大减弱，但它对Lipsichitz指数α较高的边缘无法检测，因此在提取图象边缘上不如原来精确。这样在进行图象处理时，就需要根据问题的需要选择合适的小波函数。此外，在迭代收敛速度上，消失矩高的小波的逼近威力强，收敛速度快于消失矩较小的小波函数，但前者的支撑集大雨后者，因而作为滤波器，前者的长度也长于后者。因此，在每一次分解运算时，所费时间也多于后者。总之，在使用小波变换时，适当选取小波函数时十分重要的。2、正交变换、小波包与图象数据压缩虽然图象数据的数据量时非常巨大的，但是邻近的象素的灰度（将它看成随机变量）往往是高度相关的。因此，下面利用这一性质对图象数据进行有效的压缩。设在我们所考虑的问题中每一张图片分成个像素，并取包含M张图片的样本集合s={s1,……，sm},M应足够大，以保证所取样本对所讨论的问题具有统计代表性。因为每一张图片分成了N个像素，故每一样本Sk(k=1,……，M)可以看成是一个N维的随机变量，记为{Sn(n)},n=1,……，N。它的分量表示第n个像素的灰度，其值为0---27-1之间的一正