北京邮电大学概率论与随机过程2016-2017期末

-1-北京邮电大学2016——2017学年第2学期3学时《概率论与随机过程》期末考试(A)考试注意事项：学生必须将答题内容做在试题答题纸上，做在试题纸上一律无效。一．填空题（45分，每空3分）1.设A,B为两个随机事件，()0.2PA，(|)(|)0.5PABPBA，则()PAB.0.92.设~(,)XUab,则=2+5YX的概率密度函数()Yfy.1,2525,2()()0,Yaybbafy其他.3.设X的密度函数为2(1)()()xfxaex，则a_,()EX，()DX.1/，1，1/24.设随机变量,XY独立，均服从参数为1的指数分布，则min(,)ZXY的密度函数()Zfz.2()2,0zZfzez5.设随机变量,XY独立，9~(18,),~(2,2)2XNYN,则11632PXY.(1)0.8143,(2)=0.97720.81436.设,XY相互独立，分别服从参数为1和2的泊松分布，则XY的分布律为.33(),0,1,2,...!kPXYkekk7.设~(1,0.5)Xb,Y服从期望为13的指数分布，0.4XY，则(-3+2)DXY.0.85-2-8.计算器的舍入误差是(0.5,0.5)上的均匀分布，若将120个误差数值相加，则总误差的绝对值超过10的概率近似为.(1)0.8143,(2)=0.97720.37149.设()sincos,XtUtVt其中为常数，22(,)~(,,,,0)UVN,则{()}Xt的一维概率密度函数(;)fxt.22(sincos)21,2xttex10.设{(),0}Wtt是参数为2的维纳过程,定义()(3)XtWt,则相关函数(2,7)XR.1211.设{(),0}Ntt是参数为1的泊松过程，则(3)N与(5)N的相关系数为，((1)1,(2)3)PNN.15/5,212e12.设齐次马氏链}0,{nXn的状态空间{12}E，,一步概率转移矩阵为14551122,则lim(2)nnPX.8/13二．(12分)设随机变量X和Y独立，=+ZXY，~(0,1)XU，即(0,1)区间上的均匀分布，Y为离散型随机变量，分布律为(1)=0.4,(2)=0.6PYPY，求解下列问题：(1)(),()EZDZ；(2)随机变量Z的分布函数()ZFz和密度函数()Zfz.解：（1）-3-()2.1()97/300EZDZ（2分）（2分）（2）()()(1)(1)(2)(2)0.4(1)0.6(2)ZFzPXYzPXzPYPXzPYPXzPXz（2分）0,1;0.40.4,12;()0.60.8,23;1,3.ZzzzFzzzz故（2分）（3）()'()ZZfzFz（2分）0,13;()0.4,12;0.6,23.Zzzfzzz或故（2分）三．(15分)设二维随机变量(,)XY的分布为单位圆上的均匀分布，求解下列问题：(1)边缘概率密度(),()XYfxfy；(2)判断,XY是否相互独立，是否不相关，并给出理由；(3)条件概率密度|(|)YXfyx.解：（1）22121211121()(,)dd=,2111()=(2)0xXxXxxfxfxyyyxxfx当时，，，故分，其他.-4-22121211211()(,)dd=,2111()=(2)0yYyYyyfyfxyxxyyfy当时，，，故分，其他.（2）(,)()(),XYfxyfxfyXY因为所以和不独立.(3分)(,)(,)dd000CovXYEXYEXEYxyfxyxyXY因为故和的相关系数为，不相关.(3分)（3）22|2222|11(,)1(|)=,11.(3)()211,11(|)=(2)210.YXXYXxfxyfyxxyxfxxxyxfyxx当时，分故分，其他四．（15分）设齐次马氏链{,0}nXn的状态空间为{,,}Eabc，转移概率矩阵为03/41/41/201/21/31/31/3P，初始分布为0()1.PXa(1)求2()PXb；(2)求134452(,,),(,|)PXbXcXaPXaXbXc；(3)证明马氏链{,0}nXn具有遍历性，并求其极限分布.解：（1）-5-211/241/1211/24(2)1/613/247/24(3)5/1813/3613/36PP分22000,,()(|)()=()(2)1/12.(2)abiabcPXbPXbXiPXiPXap分（2）134131434524254(,,)()(|)(|)3717(2)**.(3)4244128(,|)=(|)(|)535(2)*.(2)18424abbccacaabPXbXcXaPXbPXcXbPXaXcpppPXaXbXcPXaXcPXbXapp分分（3）2P因为马氏链的状态有限，且没有零元素，故该马氏链遍历.(2分),,=(2)1iiabcP极限分布满足方程分121415=.(1)414141解得分五．（13分）设平稳随机过程1()Xt和2()Xt相互独立，且1()0Xt.(1)证明随机过程12()()+()XtXtXt是平稳过程；(2)设1()Xt和2()Xt功率谱密度为1224()()4SS，求随机过程()Xt的平均功率.(1)证明：222()(())(),()()()XXXXtEXttXttt因为是平稳过程，所以是常数，故是常数.(4分)-6-1212(,)(()())(,)(,),()()(,)()XXXXRttEXtXtRttRttXtXtRttXt因为和是平稳过程，所以只与有关.(4分)故是平稳过程.(2)解：12-2||-2||()()=e()2e.(3)XXXRRR因为，故分2=(())(0)2.(2)XEXtR故平均功率分