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3.2弹性应变能密度函数3.2.1弹性应变能密度函数的定义弹性体受外力作用后，不可避免地要产生变形，同时外力的势能也要产生变化。根据热力学的观点，外力所做的功，一部分将转化为弹性体的动能，一部分将转化为内能；同时，在物体变形过程中，它的温度也将发生变化，或者从外界吸收热量，或者向外界发散热量。现分析弹性体内任一有限部分∑的外力功和内能的变化关系，设弹性体内取出部分Σ的闭合表面为S，它所包围的体积为V。以δW表示外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功①，δU表示在该微小变形过程中取出部分Σ的内能增量，δK表示动能增量，δQ表示热量的变化（表示为功的单位），根据热力学第一定律，则有δW＝δK＋δU－δQ我们首先假设弹性体的变形过程是绝热的，也就是假设在变形过程中系统没有热量的得失。再假设弹性体在外力作用下的变形过程是一个缓慢的过程，在这个过程中，荷载施加得足够慢，弹性体随时处于平衡状态，而且动能变化可以忽略不计（这样的加载过程称为准静态加载过程），则根据上式表示的热力学第一定律，外力在变形过程中所做的功将全部转化为内能储存在弹性体内部。这种贮存在弹性体内部的能量是因变形而获得的，故称之为弹性变形能或弹性应变能。由于弹性变形是一个没有能量耗散的可逆过程，所以，卸载后，弹性应变能将全部释放出来。下面，推导单位体积弹性应变能的表达式。仍以X、Y、Z表示单位体积的外力，表示作用在弹性体内取出部分Σ表面上单位面积的内力。对上述的准静态加载过程，可以认为弹性体在外力作用下始终处于平衡状态。外力所作的功W包含两个部分：一部分是体力X、Y、Z所作的功W1，另一部分是面力所作的功W2，它们分别为（3.30）以及（3.31）于是，有（3.32）因此，外力由于微小位移增量在取出部分Σ上所作的功δW可以表示为（3.33）将平衡微分方程（1.66）和静力边界条件（1.68）代入上式，并利用散度定理，上式可化为（3.34）利用几何方程（2.12），并注意到，最终可推得相应的内能增量δU为（3.35）定义函数u0(εij)，使之满足（3.36）该定义式称为格林（Green）公式。将它代入式（3.35），有（3.37）由上式可以看出，函数u0(εij)表示单位体积的弹性应变能，故称之为弹性应变能密度函数（或弹性应变比能函数），简称为应变能。由于弹性应变能密度函数表示弹性体的内能概念，因此，它必然是一个势函数，故也称之为弹性势函数。对式（3.36）取积分，可得（3.38）这里，u0(εij)和u0(0)分别表示物体变形之后和未变形时的弹性应变能密度。通常，取u0(0)=0，于是有（3.39）根据格林公式（3.36），假如u0(εij)的具体函数形式能够确定的话，那么，弹性体的应力与应变之间的关系也就完全确定了。这表明，弹性应变能密度函数是．．．．．．．．．．．．．．弹性材料本构关系的另一种表达形式．．．．．．．．．．．．．．．．。若假设u0(εij)对εij有二阶以上的连续偏导数，则由格林公式（3.36），可进一步推得（3.40）上式就称为广义格林公式。将式（3.3）代入广义格林公式，可得（3.41）这就证明了各向异性弹性体独立的弹性常数只有21个。以上我们讨论的是弹性体的准静态加载过程，如果弹性体在外力作用下处于．．．．．．．．．．．．．运动状态．．．．，同样可以证明．．．．．．，弹性应变能密度函数仍具有式．．．．．．．．．．．．．（3.39）所表示的形式．．．．．．。此外，还可以证明，对于变形过程是等温的情形．．．．．．．．．．．．，弹性应变能密度函数也可以近．．．．．．．．．．．．．似地表示为式．．．．．．（3.39）的形式．．．。3.2.2线弹性体的弹性应变能密度函数对线弹性体，它的应力与应变之间呈线性关系，如式（3.2）所示，因此，由式（3.39）可以发现，弹性应变能密度函数u0(εij)一定是应变张量分量的二次齐次函数。根据齐次函数的欧拉（Euler）定理，有（3.42）代入格林公式（3.36），得（3.43）这就是线弹性体弹性应变能密度函数u0(εij)的最一般表达形式。对于各向同性弹性体，则有（3.44）或（3.45）从表达式（3.44）或式（3.45）中可得到一个重要的结论：各向同性弹性体的弹性应变能密度函数恒为正，而且分别为εij和σij的二次齐函数。若将式（3.45）分别对各个应力分量求偏导数，则可推得（3.46）上式表明：对弹性势函数．．．．．．u0(σij)求各个应力分量的偏导数．．．．．．．．．．．，就可以得到相应．．．．．．．的各个应变张量分量．．．．．．．．．。从弹性应变能密度函数u0(εij)出发，我们还可以求出整个弹性体的总应变能U。设一个弹性体的体积为V，则整个弹性体的总应变能U为,&nbs,p;&,;nbs,p;（3.47）以下，列出几个各向同性弹性体常用的应变能表达式：3.2.3体变能和畸变能的概念在介绍体变能和畸变能的概念之前，我们首先对各向同性弹性体的本构方程（3.21）作一有意义的分解，即把应力张量和应变张量都分解为球量和偏量两个部分σij＝sij﹢σmδijεij＝eij﹢εmδij这里，σm＝σii/3＝(σx＋σy＋σz)/3为平均应力或静水应力，εm＝εii/3＝(εx＋εy＋εz)/3为平均正应变。于是，式（3.21）就改写为利用体积模量K=(3λ+2μ)/3，则上式变为sij﹢σmδij＝2μεij+3Kεm（3.48）将式（3.26）代入上式，可得（3.49）由此可见，对各向同性弹性体，其变形可以分为相互独立的两个部分：一部分是由各向相等的正应力（静水应力）引起的相对体积变形（体积应变）；另一部分则是由应力偏量作用所引起的物体几何形状的变化（即畸变）。现考察各向同性弹性体在两种特殊的应力状态作用下的弹性应变能：一种对应的应力张量是球量，另一种对应的应力张量是偏量。由于在以应力球张量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生体积变化，所以，称与之对应的弹性应变能为体变能；而在以应力偏量描绘的应力状态作用下，各向同性弹性体仅产生几何形状的变化，所以，称与之对应的弹性应变能为畸变能（或形变能）。根据各向同性弹性体的弹性应变能密度函数的表达式（3.44），可推得单位体积的体变能（体变比能）u0V和畸变能（形变比能）u0d分别为（3.50）（3.51）可以证明，各向同性弹性体的弹性应变能密度函数u0与体变比能u0V和形变比能u0d之间，满足以下的关系式：（3.52）可见，在弹性变形阶段，各向同性弹性体的弹性应变能也可以分解为体变能和畸变能两个部分。