高中数学三角函数解题方法技巧

高中数学三角函数解题方法技巧一、基础知识定义1角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r是圆的半径。定义3三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=ry,余弦函数cosα=rx,正切函数tanα=xy，余切函数cotα=yx，正割函数secα=xr,余割函数cscα=.yr定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=cot1,sinα=csc1，cosα=sec1；商数关系：tanα=sincoscot,cossin；乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；平方关系：sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,cot2α+1=csc2α.定理2诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα,cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα,cot(-α)=cotα;（Ⅲ）sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan=(π-α)=-tanα,cot(π-α)=-cotα;（Ⅳ）sin2=cosα,cos2=sinα,tan2=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间22,22kk上为增函数，在区间232,22kk上为减函数，最小正周期为2.奇偶数.有界性：当且仅当x=2kx+2时，y取最大值1，当且仅当x=3k-2时,y取最小值-1。对称性：直线x=k+2均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ,2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π,2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点0,2k均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.定理5正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+2)在开区间(kπ-2,kπ+2)上为增函数,最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+2，0）均为其对称中心。定理6两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ;tan(αβ)=.)tantan1()tan(tan定理7和差化积与积化和差公式:sinα+sinβ=2sin2cos2,sinα-sinβ=2sin2cos2,cosα+cosβ=2cos2cos2,cosα-cosβ=-2sin2sin2,sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-21[cos(α+β)-cos(α-β)].定理8倍角公式:sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,tan2α=.)tan1(tan22定理9半角公式:sin2=2)cos1(,cos2=2)cos1(,tan2=)cos1()cos1(=.sin)cos1()cos1(sin定理10万能公式:2tan12tan2sin2,2tan12tan1cos22,.2tan12tan2tan2定理11辅助角公式：如果a,b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a,b)的一个角为β，则sinβ=22bab,cosβ=22baa，对任意的角α.asinα+bcosα=)(22basin(α+β).定理12正弦定理：在任意△ABC中有RCcBbAa2sinsinsin，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。定理13余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=sinx(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(,0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义4函数y=sinx2,2x的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1,1])，函数y=cosx(x∈[0,π])的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1,1]).函数y=tanx2,2x的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞,+∞]).y=cosx(x∈[0,π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞,+∞]).定理15三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina,n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k∈Z}.如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana,k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=2；arctana+arccota=2.定理16若2,0x，则sinxxtanx.二、方法与例题1．结合图象解题。例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。2三角函数性质的应用。例2设x∈(0,π),试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。例3已知α，β为锐角，且x·（α+β-2）0，求证：.2sincossincosxx注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。3．最小正周期的确定。例4求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。4．三角最值问题。例5已知函数y=sinx+x2cos1，求函数的最大值与最小值。例6设0π，求sin)cos1(2的最大值。例7若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。5．换元法的使用。例8求xxxxycossin1cossin的值域。例9已知a0=1,an=11121nnaa(n∈N+)，求证：an22n.注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈2,0时，有tanxxsinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A,,0).由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。例10例10已知f(x)=sin(x+)(0,0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点0,43M对称，且在区间2,0上是单调函数，求和的值。7．三角公式的应用。例11已知sin(α-β)=135，sin(α+β)=-135，且α-β∈,2，α+β∈2,23，求sin2α,cos2β的值。例12已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且BCAcos2cos1cos1，试求2cosCA的值。例13求证：tan20+4cos70.三、基础训练题1．已知锐角x的终边上一点A的坐标为(2sin3,-2cos3)，则x的弧度数为___________。2．适合xxxxcos1cos1cos1cos1-2cscx的角的集合为___________。3．给出下列命题：（1）若αβ，则sinαsinβ；（2）若sinαsinβ,则αβ；（3）若sinα0，则α为第一或第二象限角；（4）若α为第一或第二象限角，则sinα0.上述四个命题中，正确的命题有__________个。4．已知sinx+cosx=51(x∈(0,π))，则cotx=___________。5．简谐振动x1=Asin3t和x2=Bsin6t叠加后得到的合振动是x=___________。6．已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，则1，2，3，4分别是第________象限角。7．满足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的锐角x共有________个。8．已知223x，则xcos21212121=___________。9．40cos170sin)10tan31(50sin40cos=___________。10．cot15cos25cot35cot85=___________。11．已知α,β∈(0,π),tan212,sin(α+β)=135，求cosβ的值。12．已知函数f(x)=xxmcossin2在区间2,0上单调递减，试求实数m的取值范围。四、高考水平训练题1．已知一扇形中心角是a,所在圆半径为R，若其周长为定值c(c0)，当扇形面积最大时，a=__________.2.函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)的单调递减区间是__________.3.函数xxycos2sin2的值域为__________.4.方程xxlg62sin2=0的实根个数为__________.5.若sina+cosa=tana,a2,0，则3__________a（填大小关系）.6.(1+tan1)(1+tan2)…(1+tan44)(1+tan45)=__________.7.若0y≤x2且tanx=3tany，则x-y的最大值为__________.