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第1页共15页2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4B．4C．0D．93．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4B．﹣3C．3D．46．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥mB．α⊥β⇒l∥mC．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1B．C．3D．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°第2页共15页10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣B．C．﹣D．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）A．B．﹣1C．D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）A．2B．π+2C．+2D．+2二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为．14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=．15．已知||=1，|+|=，||=2，则在方向上的投影等于．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，AB=BC=CD=2．该三棱锥外接球的表面积等于．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知O（0，0），A（2，﹣1），B（1，2）．（1）求△OAB的面积；（2）若点C满足直线BC⊥AB，且AC∥OB，求点C的坐标．18．长方体截去一个三棱锥后的直观图和部分三视图如图所示．（1）画出这个几何体的俯视图，并求截面AEF的面积；（2）若M为EF的中点，求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．第3页共15页19．已知函数f（x）=Asinx+cosx，A＞0．（1）若A=1，求f（x）的单调递增区间；（2）函数f（x）在x=x0处取得最大值，求cosx0的值．20．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，AB=1，AC=，AD=2，M、N分别为棱PA、BC的中点．（1）求证：MN∥平面PCD；（2）若二面角P﹣CD﹣B等于30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．21．如图，已知函数f（x）=msin（x+）（m＞0）的图象在y轴右侧的最高点从左到右依次为B1、B2、B3、…，与x轴正半轴的交点从左到右依次为C1、C2、C3、…．（1）若m=1，求•；（2）在△OB1C1，△OB2C3，△OB3C5，…，△OBiC2i﹣1，（i=1，2，3，…）中，有且只有三个锐角三角形，求实数m的取值范围．22．已知动点M与两点P1（，0），P2（2r，0）的距离之比为，r＞0．（1）求动点M的轨迹Γ的方程；（2）已知菱形ABCD的一个内角为60°，顶点A，B在直线l：y=2x+3上，顶点C，D在Γ上，当直线l与Γ无公共点时，求菱形ABCD的面积S的取值范围．第4页共15页2015-2016学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．=（）A．B．C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知cos=cos（π+），进而求得答案．【解答】解：cos=cos（π+）=﹣cos=﹣故选D．2．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）A．﹣4B．4C．0D．9【考点】平面向量数量积的运算．【分析】①把转化为②用坐标运算公式=x1x2+y1y2【解答】解：∵∴，∴，∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，∴x=9．故选D．3．已知圆C1：x2+y2=1，圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+y2=1，表示以C1（0，0）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2+y2+4x﹣6y+4=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=9，表示以C2（﹣2，3）为圆心，半径等于3的圆．∴两圆的圆心距d==，∵3﹣1＜＜3+1，故两个圆相交．故选：C．4．函数y=tan（﹣）在一个周期内的图象大致是（）第5页共15页A．B．C．D．【考点】正切函数的图象．【分析】根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得x的范围，从而得出结论．【解答】解：根据函数y=tan（﹣）在包含原点的一个周期内是增函数，故排除C、D；令﹣＜﹣＜，求得﹣＜x＜，结合所给的选项，故选：A．5．已知O为坐标原点，点A的坐标为（3，﹣4），将线段OA绕点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，及两点的距离公式计算即可得到所求．【解答】解：设B（m，n），（m，n＞0），由OA⊥OB，且|OA|=|OB|，可得﹣•=﹣1，=，解得m=4，n=3．即B的纵坐标为3．故选：C．6．为了得到函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由于函数y=2cos2x=2•=cos2x+1，第6页共15页∴要得到得函数y=2cos2x的图象，可以将函数y=1+cosx图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选：B．7．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，下列命题中正确的是（）A．α∥β⇒l∥mB．α⊥β⇒l∥mC．l∥m⇒α⊥βD．l⊥m⇒α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥m，当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，当l∥m有α⊥β，当l⊥m有α∥β或α∩β，得到结论【解答】解：直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，当α∥β有l⊥β，进而可得l⊥m，故A不正确当α⊥β有l∥m或l与m异面或相交，故B不正确当l∥m有直线m⊥平面α，因为直线m⊂平面β，α⊥β，故C正确，当l⊥m有α∥β或α∩β，故D不正确，故选：C．8．在△ABC中，||=1，||=3，∠BAC=60°，则||=（）A．1B．C．3D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可知，，根据条件对上式两边平方进行数量积的运算即可得出，从而得出的值．【解答】解：===7；∴．故选：B．9．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′=3，AB=4，AD=5，E、F分别是线段AA′和AC的中点，则异面直线EF与CD′所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．第7页共15页【分析】以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF与CD′所成的角．【解答】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴，建立空间直角坐标系，则E（0，0，），F（2，，0），C（4，5，0），D′（0，5，3），=（2，，﹣），=（﹣4，0，3），∴cos＜＞===﹣，∴异面直线EF与CD′所成的角45°．故选：C．10．直线l：3x+4y+4=0与圆C：（x﹣2）2+y2=9交于A，B两点，则cos∠ACB=（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出圆心、半径，圆心到直线的距离，利用三角函数进行求解．【解答】解：圆C：（x﹣2）2+y2=9的圆心坐标为（2，0），半径为3，圆心到直线的距离为=2，∴cos∠ACB=，∴cos∠ACB=2cos2∠ACB﹣1=﹣1=﹣，故选：A．11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若=λ+μ，则λ等于（）第8页共15页A．B．﹣1C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量的坐标，带入即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．【解答】解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=，则：A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）；根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则，且x＞0；∴解得x=；∴直线BE的方程为；∴令x=0，y=，即；∴，；∴；∴；解得．故选D．12．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形ABCD是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（）第9页共15页A．2B．π+2C．+2D．+2【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【分析】由题意求出圆台所在圆锥的母线长，利用弧长公式求出圆心角，把最短路程转化为三角形的边长求解．【解答】解：沿母线AD剪开并展开如图，∵圆台形容器的上、下底面半径分别为1和2，高为，∴OB=4，OE=2．设展开图的圆心角为α，则2π•1=2α，∴α=π，∴∠AOE=90°，∴AE==2．∴经过的最短路程为2．故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知sinθ+cosθ=，则sin2θ的值为﹣．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【分析】将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2θ的值．【解答】解：将sinθ+cosθ=左右两边平方得：（sinθ+cosθ）2=，整理得：sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+sin2θ=，则sin2θ=﹣1=﹣．故答案为：﹣14．已知斜率为2的直线l过点P（1，3），将直线l沿x轴向右平移m个单位得到直线l′，若点A（2，1）在直线l′上，则实数m=2．【考点】直线的一般式方程．第10页共15页【分析】由已知直线l的斜率且过点P，根据直线方程的点斜式求出其解析式，然后根据平移的性质：左加右减，上加下减，得到直线l′，再根据点A在直线l′上，代入直线l′方程计算即可得答案．【解答】解：由直线l斜率为2且过点P（1，3），得y﹣3=2（x﹣1），即y=2x+1，将直线l沿x轴向右平移