圆中三角函数综合例题及练习

1圆中的三角函数解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析如下：一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中例1(成都市)如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，22AC，BC=1，那么sin∠ABD的值是．解析：在⊙O中，∠ACD=∠ABD；又由于AB为⊙O的直径，CD⊥AB，则∠ACD=∠ABC.Rt△ABC中，AB=22BCAC=221)22(=3,从而sin∠ABD=ABAC=322.评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。二、用直径与所对圆周角构造直角三角形例2(烟台市)已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么CDAB等于A．sinαB．COSαC．tanαD．1tan解析：连结BD,由于AB为直径,则∠ADB=90°,于是,在Rt△PBD中,有COSα=PBPD,而点C和点A在圆周上，所以∠A=∠C，又∠APB=∠CPD，则△APB∽△CPD，从而CDAB=PBPD，所以CDAB=COSα，故选B。评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三角形，从而为使用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)求sin∠E的值。解析：（1）证明：如图5,连结OD、CD，因为BC是直径，所以CD⊥AB，而AC=BC，则D是AB的中点又因为O是CB的中点，所以OD//AC由于DF⊥AC，则OD⊥EF，于是EF是⊙O的切线.（2）连结BG，因为BC是直径，所以∠BGC=90°图2ABDCEFGO图4ACBDO图12EDOABCDEOABC在Rt△BCD中，CD=22ADAC=22610=8而AB·CD=2ABCS=AC·BG,则有BG=ACCDAB=10812=548.在Rt△BCG中，CG=22BGBC=22)548(10=514;又因为BG⊥AC，DF⊥AC，所以BG//EF,则∠E=∠CBG,从而sin∠E=sin∠CBG=BCCG=10514=257评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值提供便利.例4.如图，Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=2,以AB上的一点0为圆心作⊙O分别与AC．BC相切于点D，E。(1)求⊙O的半径。(2)求sin∠BOC的值。证：(1)：连OE,OD，证四边形OECD为正方形，设半径为R，2R=44R,R=34；(2)10103，作CM⊥AB于M，易求AB=25．AB·CM=BC·AC，∴CM=554,易求OC=R2=324,∴sin∠BOC=OCCM=10103例5.如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，DE⊥AC于点E。(1)求证：DE为⊙O的切线：(2)若BC=45，AE=1，求cos∠AEO的值。图53OAECBDFEDBACO解：(1)连OD,∠C=∠ABC=∠ODB.OD//AC,∴∠ODE=∠DEC=90°(2)∠AEO=∠DOE,cos∠AEO=cos∠DOE=OEOD，连DA.证CD=BD=25，证△CDE∽△CDA,CD2=CE·CA=CE·(CE+1)∴CE=4,DE=22CECD=2,OD=21AC=25，OE=22ODDE=241,∴cos∠AEO==cos∠DOE=OEOD=41415●专练1．如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点D为圆心，OA为半径的⊙O与EC相切于点D，AD∥BC.(l)求证：∠E=∠ACB:(2)若AD=1,tan∠DAC=22，求BC的长．2．如图，已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点，DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。(l)连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论(2)当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B。4FEDOBACFEMODABCDMPCOABF3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F.(1)求证；直线DE是⊙O的切线；(2)当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点0为圆心，过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点EEF⊥AC于点F。(1)求证：⊙O与AC相切：(2)若EF=2，BC=4，求tan∠A的值。5．如图，△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，在弧AC上取一点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D。(1)求证：CD为⊙O的切线。(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan∠FAE。56．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，DPAC,垂足为点P.（1）求证：PD是⊙O的切线.（2）若AC=6,cosA=35，求PD的长.7．如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E.连接BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=21，求⊙O的直径的长．8．如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连结AD、BE，若1sin2A，∠BED=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）DCE△是否是等边三角形？请说明理由；（3）若O的半径2R，试求CE的长．DBOCAPEBMDCOAABCDEOF69．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC=，求的值．