随机过程-1泊松过程

泊松过程主讲教师段禅伦2008年秋季学期硕士研究生学位课程《应用数学基础》(演示文稿)(Poissonprocess)第三章泊松过程•泊松过程是一类较为简单的时间连续,状态离散的随机过程.泊松过程在物理学、地质学、生物学、医学、天文学、服务系统和可靠性理论等领域都有广泛的应用.3.1泊松过程的定义和例定义3.1称随机过程{N(t),t≥0}为计数过程,若N(t)表示到时刻t为止已发生的事件A的总数,且N(t)满足下列条件:(1)N(t)≥0;(2)N(t)取正整数值;(3)若s＜t,则N(s)≤N(t);(4)当s＜t时,N(t)-N(s)等于区间(s,t]中发生的事件A的次数.泊松过程的定义和例•如果计数过程N(t)在不相重叠的时间间隔内,事件A发生的次数是相互独立的,即若t1＜t2≤t3＜t4则在区间(t1,t2]内事件A发生的次数N(t2)-N(t1),与在(t3,t4]内事件A发生的次数N(t4)-N(t3)相互独立,那么此时的计数过程N(t)是独立增量过程.•如果计数过程N(t)在(t,t+s](s＞0)内,事件A发生的次数N(t+s)-N(t),仅与时间差s有关,而与时刻t无关,则计数过程N(t)是平稳增量过程.•泊松过程是计数过程的最重要的类型之一,其定义是:定义3.2称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件:泊松过程的定义和例(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)在任一长度为t的区间中,事件A发生的次数服从参数λ＞0的泊松分布,即对任意s,t≥0,有P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,….•从条件(3)知,泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt.由于:λ=E[X(t)]/t表示单位时间内事件A发生的平均个数,故称λ为泊松过程的速率或强度.•从定义3.2,我们看到:为了判断一个计数过程是泊松过程,必须证明它满足条件(1),(2)和(3).条件(1)只是说明事件A的计数是从t=0时开始的;条件(2)通常可从我!)(ntn泊松过程的定义和例们对过程了解的情况去验证;然而条件(3)的验证是非常困难的.为了方便应用,以下我们再给出泊松过程的另一个定义.定义3.3称计数过程{X(t),t≥0},为具有参数λ＞0的泊松过程,如果{X(t),t≥0}满足下列条件:(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立、平稳增量过程;(3)X(t)满足下列两式:P{X(t+h)-X(t)=1}=λh+o(h);P{X(t+h)-X(t)≥2}=o(h).•定义3.3中的条件(3)要求:在充分小的时间间隔内,最多有1个事件发生,而不能有2个或2个以上事件同时发泊松过程的定义和例生.这种假设对于许多物理现象比较容易得到满足.例3.1考虑某电话交换台在某段时间接到的呼叫.令X(t)表示电话交换台在(0,t]时间段内收到的呼叫次数,则{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故{X(t),t≥0}是一个泊松过程.其实对于任意的0≤t1＜t2＜…＜tn,随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2),…,X(tn)-X(tn-1)分别表示,在时间段(t1,t2],(t2,t3],…,(tn-1,tn]内,电话交换台接到的呼叫次数,它们是相互独立的,所以随机过{X(t),t≥0}是一个独立增量过程.而且对于任意的s＜t,随机变量X(t)-X(s)的分布可以认为仅与t-s有关,故{X(t),t≥0}是平稳独立增量过程.泊松过程的定义和例例3.2考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客.如果记X(t)为在时间(0,t]内到达售票窗口的旅客数,则计数过程{X(t),t≥0}满足定义3.3中的各个条件,故是一个泊松过程.例3.3考虑机器在(t,t+h)时间段内发生故障的事件.若机器发生故障,立即修理后继续工作,则在(t,t+h)时间段内机器发生故障而停止工作的事件数,构成一个随机点过程,该过程可以用泊松过程进行描述.定理3.1泊松过程的两种定义,即定义3.2与定义3.3是等价的.证明:首先证明定义3.2蕴涵定义3.3.比较两条定义,由于定义3.2的条件(3)中蕴涵X(t)为平泊松过程的定义和例稳增量过程,所以只需证明由定义3.2的条件(3)可以推出定义3.3的条件(3).由式P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,….对充分小的h,有P{X(t+h)-X(t)=1}=P{X(h)-X(0)=1}(X(h)=X(0+h))=e-λh=λh=λh[1-λh+o(h)]=λh+o(h);P{X(t+h)-X(t)≥2}=P{X(h)-X(0)≥2}==o(h).!)(ntn!1)(1h0!)(nnnh2!)(nnhnhe泊松过程的定义和例以下证明定义3.3蕴涵定义3.2.经比较,只需证明由定义3.3中后两式可以推出定义3.2的(3)式.为此令Pn(t)=P{X(t)=n}=P{X(t)-X(0)=n}.根据定义3.3的(2)与(3),有P0(t+h)=P{X(t+h)=0}=P{X(t+h)-X(0)=0}=P{X(t)-X(0)=0,X(t+h)-X(t)=0}=P{X(t)-X(0)=0}P{X(t+h)-X(t)=0}=P0(t)[1-λh+o(h)],所以=-λP0(t)+.令h→0取极限得P’0(t)=-λP0(t)或=-λ.htPhtP)()(00hho)()()(00tPtP泊松过程的定义和例积分得lnP0(t)=-λt+C即P0(t)=ke-λt.由于P0(0)=P{X(0)}=1,代入前式得P0(t)=e-λt.类似地,对于n≥1,有Pn(t+h)=P{X(t+h)=n}=P{X(t+h)-X(0)=n}=P{X(t)-X(0)=n,X(t+h)-X(t)=0}+P{X(t)-X(0)=n-1,X(t+h)-X(t)=1}+P{X(t)-X(0)=n-j,X(t+h)-X(t)=j}.根据定义3.3的(2)与(3),得Pn(t+h)=Pn(t)P0(h)+Pn-1(t)P1(h)+o(h)=(1-λh)Pn(t)+λhPn-1(t)+o(h)于是,有nj2泊松过程的定义和例=-λPn(t)+λPn-1(t)+.令h→0取极限得P’n(t)=-λPn(t)+λPn-1(t),所以eλt[P’n(t)+λPn(t)]=λeλtPn-1(t),因此[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t).当n=1时,得[eλtP1(t)]=λeλtP0(t)=λeλte-λt=λ,P1(t)=(λt+c)e-λt.htPhtPnn)()(hho)(dtddtd泊松过程的定义和例由于P1(0)=0,代入上式得c=0,P1(t)=λte-λt.以下用数学归纳法证明:Pn(t)=e-λt成立.假设n-1时有结论,证对n有:P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,….根据[eλtPn(t)]=λeλtPn-1(t)式,有[eλtPn(t)]=λeλte-λt=,积分得eλtPn(t)=+c.!)(ntn!)(ntn!)(ntn)!1()(1ntn)!1()(1ntndtddtd泊松过程的定义和例!)(ntn!)(ntn由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0,因而c=0,所以Pn(t)=e-λt.由条件(2)X(t)是独立、平稳增量过程,故有P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,…故定义3.3蕴涵定义3.2.3.2泊松过程的基本性质1.数字特征根据泊松过程的定义,可以导出泊松过程的几个常用的数字特征.设{X(t),t≥0}是泊松过程,对任意t,s∈[0,∞)及s＜t泊松过程的基本性质从定义3.2的(3)得E[X(t)-X(s)]=D[X(t)-X(s)]=λ(t-s).由于X(0)=0,故mX(t)=E[X(t)]=E[X(t)-X(0)]=λt;σ2X(t)=D[X(t)]=D[X(t)-X(0)]=λt;RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=E{X(s)[X(t)-X(s)+X(s)]}=E[X(s)-X(0)][X(t)-X(s)]+E[X(s)]2=E[X(s)-X(0)]E[X(t)-X(s)]+D[X(s)]+{E[X(s)]}2=λsλ(t-s)+λs+(λs)2=λs(λt+1);P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt,n=0,1,2,…!)(ntn泊松过程的基本性质BX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t)=λs;一般地,泊松过程的协方差函数可以表示为BX(s,t)=λmin(s,t).泊松过程的特征函数是gX(t)=E[eiuX(t)]=.2.泊松过程的时间间隔与等待时间的分布如果以泊松过程来描述服务系统接受服务的顾客数,那么,顾客到来接受服务的时间间隔、顾客等待的排队时间等分布问题都需要进行研究.以下讨论泊松过程与时间有关的分布.设{X(t),t≥0}是泊松过程,令X(t)表示t时刻事件A发)1(iuete泊松过程的基本性质生(顾客出现)的次数,W1,W2,…分别表示第一次,第二次…事件A发生的时间,Tn(n≥1)表示从第(n-1)次事件A发生到第n次事件A发生的时间间隔(如下图所示)通常称Wn为第n次事件A出现的时刻或第n次事件A的等待时间,Tn是第n个时间间隔,它们都是随机变量.•如何利用泊松过程中事件A发生所对应的时间间隔关系研究各次事件间的时间间隔分布呢?定理3.2设{X(t),t≥0}是具有参数λ的泊松分布,{Tn,n≥1}是对应的时间间隔序列,则随机变量Tn(n=1,2,…)是独立同分布的均值为1/λ的指数分布.W1W2W3Wn-1WnOT1T2T3Tn……泊松过程的基本性质证明:首先,由于事件{T1＞t}发生泊松过程在区间[0,t]内没有事件发生,因而P{T1＞t}=P{X(t)=0}=e-λt,(因此时为)(t)=P{T1≤t}=1-P{T1＞t}=1-e-λt,(求导得密度)所以T1是服从均值为1/λ的指数分布.(导数为λe-λt)利用泊松过程的独立、平稳增量性质,有P{T2＞t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生}=P{X(t+s)-X(s)=0}=P{X(t)-X(0)=0}=e-λt,即(t)=P{T2≤t}=1-P{T2＞t}=1-e-λt,故T2也是服从均值为1/λ的指数分布.!0)(0tet1TF2TF泊松过程的基本性质对于任意n≥1和t,s1,s2,…,sn-1≥0,有P{Tn＞t|T1=s1,…,Tn-1=sn-1}=P{X(t+s1+…+sn-1)-X(s1+s2+…+sn-1)=0}=P{X(t)-X(0)=0}=e-λt,即(t)=P{Tn≤t}=1-P{Tn＞t}=1-e-λt,可见对任意Tn(n≥1),其分布是均值为1/λ的指数分布.•定理3.2说明,对于任意n=1,2,…事件A相继到达的时间间隔Tn的分布为(t)=P{Tn≤t}=,其概率密度为(t)=.(均值为1/λ,方差为1/λ2)nTF1-e-λt,t≥00,t＜0nTFnTfλe-λt,t≥00,t＜0泊松过程的基本性质•定理3.2的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到的,该假设的概率意义是指:过程在任何时刻都从头开始,即从任何时刻起,过程独立于先前已发生的一切(独立增量),且有与原过程完全一样的分布(平稳增量).◇其实,由指数分布无记忆性的特征,时间间隔的指数分布应该是在预料之中的.•另一个感兴趣的问题是:等待时间Wn的分布,即第n次事件A到达的时间分布.因Wn=Ti,n≥1,由定理3.2知,Wn是n个相互独立的指数分布随机变量和,故用特征函数方法,可得如下结论:ni1泊松过程的基本性质定理3.3设{Wn,n≥1}是与泊松过程{X(t),t≥0}对应的一个等待时间序列,则Wn服从参数为n和