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第八章习题解答8-1一物体沿x轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期为2s。当t=0时，位移为0.06m，且向x轴正方向运动。求：(1)初相；(2)t=0.5s时，物体的位置；(3)在x=-0.06m处，且向x轴负向方向运动。物体从这一状态回到平衡位置的最短时间。解：（2）ππω==T2rad/s0.5s对应的转过角度为2π，所以物体的位置为x轴正方向30.06m处。8-2有一物体沿x轴做振幅为A的简谐运动，振动表达式为余弦函数。若0=t时物体的运动状态分别为：（1）Ax−=0；（2）过平衡位置向x正方向运动；（3）过2Ax=处，且向x负方向运动。试用旋转矢量图分别确定相应的初位相。解（1）πϕ=；（2）2πϕ−=；（3）3πϕ=。相量图如下图所示。习题8888.2.2.2.2用图8-3一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐运动，其表达式为)62cos(04.01π+=tx)62cos(03.02π−=tx试写出合振动的表达式。解合振动的振幅为m06.066cos04.003.0203.004.0)cos(22212212221=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−×××++=−++=ππϕϕAAAAA合振动的位相为()()()()08.06cos03.06cos04.06sin03.06sin04.0arctancoscossinsinarctan22112211=−+−+=++=ππππϕϕϕϕϕAAAA合振动的表达式为()()08.02cos06.0cos+=+=ttAxϕωAAAAxyOπ（1）AAAAxyO2π−（2）AAAAxyO3π（3）8-4一简谐波在介质中沿x轴正方向传播，振幅0.2Am=，周期0.2Ts=，波长5mλ=.当0=t时刻，波源振动的位移为正方向的最大值。把波源的位置取为坐标原点，求（1）这个简谐波的波函数；（2）12tT=时刻，41λ=x处质元的位移。解（1）沿x轴正方向传播的简谐波的波函数为⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=ϕππϕλπωxtxtAy522.02cos2.02cos其中ϕ代表初位相，待求。由题设条件，有ϕcos2.02.0=即得0=ϕ。因此，所求波函数为mxty)4.010cos(2.0ππ−=（2）21Tt=时刻，41λ=x处质元的位移为mxty0)5.0cos(2.0)4.010cos(2.0=−=−=ππππ8-5如图8-35，已知A点的振动方程为1cos[4π()]8AyAt=−。A点与B点相距1x，在下列情况下试求波动方程：(1)以A为原点；(2)以B为原点；(3)若u沿x轴负向，以上两种情况又如何？1xBBBBAAAAx........图8-35习题8-5用图本题需补充一平面简谐波以速度-1sm20⋅=u沿直线传播解：（1）以A为原点m10==uTλ，根据])(π2cos[ϕλ+−=xTtAy，有]2)105.0(π2cos[π−−=xtAy(2)以B为原点5ππ21xxxABAB=−−=−λϕϕ)25ππ4cos(1π−+=xtAyB]25π)105.0(π2cos[1π−+−=xxtAy(3)若u沿x轴负向以A为原点]2)105.0(π2cos[π−+=xtAy以B为原点5ππ21xxxABBA−=−=−λϕϕ]25π)105.0(π2cos[1π−−+=xxtAy8-6如图8-36为一简谐波在0=t时刻的波形曲线，设此简谐波的频率为50Hz，图中质点p正向上运动，求（1）此简谐波的波函数；（2）在距原点O为m5.7处质点振动的表达式。图8-36习题8-6用图解（1）因质点p正向上运动，则此简谐波沿x轴反方向传播。已知mA20.0=，s/100502radππω=×=，m0.20=λ，则波函数的表达式为)0.202100cos(20.0ϕππ++=xty原点O处质点振动的初位相ϕ待求。由题图可知，在0=t时刻原点O处质点的运动状态为my01.00=，00v即有mxmy0.100.20p0.10O21cos=ϕ，0sin−ϕ因此3πϕ=此简谐波的波函数为)310100cos(20.0πππ++=xty（2）在距原点O为m5.7处质点振动的表达式为)1213100cos(20.0)3105.7100cos(20.0πππππ+=++=tty8-7如图8-37所示，A、B两点为同一介质中两相干波源，其振幅皆为5cm，频率皆为100Hz。当点A为波峰时，点B恰为波谷.设波速为110ms−⋅，试写出由A、B发出的两列波传到点P时干涉的结果。8-8波长为589.3nm的钠光照在一双缝上，在距双缝200cm的观察屏幕上测量10个条纹的宽度为2.2cm，试计算双缝之间的距离。解：根据Dxdλ∆=有536.0=dmm8-9在杨氏干涉实验中，若双缝间距为0.40mm，在距双缝100cm的光屏上出现干涉条纹。现测得相邻两条明纹中心的间距为1.5mm，求入射光的波长。解：根据Dxdλ∆=有600=λnm8-10杨氏双逢实验中d=0.5mm，屏幕与缝相距25cm。已知光源是由波长400nm和600nm的两种单色光组成。求距中央明条纹多远处，两种光源的明条纹第一次重叠?各为第几级?解：根据dkDxλ=有2',3==kk，06.0==dkDxλm8-11双缝干涉实验中，用波长为600nm的平行单色光垂直入射到双缝上，屏到双缝的距离为1.00m。测得中央明纹两侧的两条第3级明纹中心的间距为23.0010−×m。求双缝的间距。解：cmcmx5.06/3==∆根据Dxdλ∆=有12.0=dmm8-12白光垂直照射到空气中一厚度为73.810m−×的肥皂膜上，设肥皂膜的折射率为1.33，则反射干涉加强的光的波长为多少？解由于肥皂膜上下为空气，反射光干涉的光程差有半波损失，明纹条件为λλδkne=+=22因此，反射干涉加强的光的波长为)12(10216.20)12(108.333.14)12(477−×=−×××=−=−−kkkneλ由于可见光的范围为77105.7~104−−××m，则反射干涉加强的波长为m7110043.4−×=λ，)3(=km7210739.6−×=λ，)2(=k8-13放在空气中的一劈尖，其折射率为1.4，尖角为4510−×rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两条相邻明纹的间距为0.05cm，试求：（1）此单色光在空气中的波长；（2）如果劈尖长为2.5cm，总共可出现多少条明纹。解（1）劈尖反射干涉相邻明纹间距为θλθλ∆nnl2sin2≈=此单色光在空气中的波长为mln724100.71005.01054.122−−−×=×××××=∆=θλ(2)设入射单色光的相干长度大于劈尖最厚处的厚度d，在厚度d处产生第k级干涉明纹，有λλknd=+22100107105105.24.144412742=××××××===−−−−λθλnlndk得5.50=k故能看到50条明纹。8-14利用等厚干涉可以测量微小的角度。折射率n=1.4的劈尖形介质，用λ=700nm的单色光垂直照射，测得两相邻明条纹间距l=0.25cm。求劈尖角θ。解：根据/(2).lnλθ=有0004.0=θrad8-15用波长为593.6nm的光做牛顿环实验，测得某一明环半径为3100.1−×m，其外第四个明环的半径为3100.3−×m，求试验中所用的平凸透镜的凸面曲率半径。解牛顿环明纹处半径与波长的关系为λRkrk)21(2−=因此λRkrk)214(24−+=+λRrrkk42424=−+透镜的曲率半径为mrrRkk37.342424=−=+λ8-16牛顿环装置中透镜与平板玻璃之间充以某种液体时，观察到第八级暗环的直径为1.27cm，当把这种液体抽走后，此暗环的直径变为1.45cm，求该液体的折射率。解：根据nkRr/λ=有3.1=n8-17在白光照射单缝产生的夫琅禾费衍射公式中，某一波长为0λ的光波的第三级明条纹与红光（7610mλ−=×）的第二级明条纹相重合，则0λ为多少？解：根据2)1'2(2)12(0λλ+=+kk有7010286.4−×=λm8-18在夫琅禾费单缝衍射中,已知缝宽1.0×10-4m，透镜焦距为0.5m现用760nm的单色平行光垂直照射。求(1)中央明纹的角宽度和线宽度；(1)一般明纹的角宽度和线宽度；（3）第三级明纹距中央明纹的距离；（4）最多能看到第几级明纹。解：（1）中央明纹角宽度为02aλθ∆==rad21052.1−×线宽度为02fxaλ∆==3106.7−×m（2）一般明纹的角宽度aλθ∆==3106.7−×rad线宽度为fxaλ∆==3108.3−×m（3）21014.13−×=∆=xxm（4）1.13121max=−=λak最多能看到第131级明纹（5）8-19波长为500nm的单色光垂直照射到宽度为0.25mm的单缝上，单缝后放置一凸透镜。在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹，今测得屏幕上中央条纹两侧的两条第5级暗纹中心的间距为12mm，求凸透镜的焦距。解：1=∆xmm.根据fxaλ∆=有5=fm.8-20试指出当衍射光栅常数和缝宽之间有下列关系时，哪些级数的主极大消失：（1）光栅常数d为缝宽a的两倍，即2da=；（2）2.5da=；（3）3da=。解（1）缺级条件为⎩⎨⎧′==λθλθkakdsinsin故缺级为kkabak′=′+=2，⋯,3,2,1=′kk为偶数（k=0除外）。（2）缺级为kkabak′=′+=5.2，⋯,6,4,2=′kk为5,10,15,....(3)缺级为kkabak′=′+=3，⋯,3,2,1=′kk为3，6，9，…。8-21已知单缝宽度41.010bm−=×，透镜焦距0.50fm=，用1400nmλ=和2760nmλ=的单色平行光分别垂直照射，求这两种光的第一级明纹离屏中心的距离，以及这两条明纹之间的距离。若用每厘米刻有1000条刻线的光栅代替这个单缝，则这两种单色光的第一级明纹分别距屏中心多远？这两条明纹之间的距离又是多少？解：mmxmmbfxmmbfx8.1,8.3,22211=∆====λλmd5101000/1−==根据sin,0,1,2,,dkkθλ∆===±±⋯以及fx/=θ有mmxmmdfxmmdfx18',38',20'2211=∆====λλ8-22用白光垂直照射到每厘米刻有5000条缝的光栅上，求：（1）第二级光谱的张角（2）能看到几级完整光谱。解：（1）61025000/1−×==dm白光波长范围mm77105.7104−−×→×根据sin,0,1,2,,dkkθλ∆===±±⋯有radd4.02sin22==≈λθθ，radd75.0'2'sin'22==≈λθθ故第二级同级光谱的张角为0.35rad（2）同级光谱中，红光离中央主极大最远。6.290sinmax==λ�dk能看到两级完整光谱8-23一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱共出现5条明纹。若已知此光栅每缝的宽度与不透光部分的宽度相等，求这几条明纹的级次。解：缺级为','1,2,.dkkka==±±⋯，2/=ad，衍射条纹的缺级为2,4,.k=±±⋯明纹的级次为3,1,0±±.8-24波长为500nm的单色光垂直入射到一光栅上，测得第三级主极大的衍射角为30�，且第二级是缺级。求：(1)光栅常数d;(2)透光缝的最小宽度a；(3)在选定上述d和a之后，求在衍射角/2/2πϕπ−范围内可能观察到的全部主极大的级次。解：(1)根据sin,0,1,2,,dkkθλ∆===±±⋯有mdµλ330sin/3==�(2)maadµ5.1,2/==(3)690sinmax==λ�dk,缺级为6,4,2±±±，在衍射角/2/2πϕπ−范围内可能观察到的全部主极大的级次为.5,3,1,0±±±8-25在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm，设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm，入射光波为550nm。求人在离汽车多远的地方，眼睛恰能分辨这两盏灯？解：8-26一个油侵显微镜恰能分辨每厘米中有4410×条的一组线条，光源的波长为450nm，问显微镜的数值孔径为多