高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学-(1)

1、写出下列条件所确定的微分方程：1）曲线在点,Mxy处的法线与x轴的交点为Q，且线段QM被y轴平分。解：设此曲线方程为yyx，由已知Q点坐标为,0x，曲线在点,Mxy处的法线方程为1YyXxy，其与y轴交点为0,xyy，因此202yxyyyxy2）曲线上任意点,Mxy处的切线与线段OM垂直。解：设此曲线方程为yyx，线段OM的斜率为yx，因此10yyyyxx3）曲线上任意点,Mxy处切线，以及M点与原点的连线，和x轴所围成的三角形的面积为常数2a。解：曲线过点,Mxy的切线方程为YyyXx此切线与x的交点为,0yxy所求微分方程为212yyxay2220axyyy2、求曲线族12xxxyCeCe（12,CC为任意常数）所满足的微分方程。解：方程两边关于x求导得12xxyxyCeCe两边再关于x求导得122xxyxyCeCe所求微分方程为2yxyxy3、潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉速度成正比例，如果潜水艇的质量为m，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件。解：设潜水艇下沉所遇阻力为F，下沉速度为v，由牛顿第二运动定理有mgFmamv而由已知Fkv，其中k为常数，所以mvkvmg因此此问题满足的初值问题为00mvkvmgv