高中二年级立体几何试题(详细答案)

.....word可编辑..高二数学立体几何一、选择题：(本大题共12小题,每小题3分,共36分.)1、已知),1,2,1(),1,1,0(ba则a与b的夹角等于A．90°B．30°C．60°D．150°2、设M、O、A、B、C是空间的点，则使M、A、B、C一定共面的等式是A．0OCOBOAOMB．OCOBOAOM2C．OCOBOAOM413121D．0MCMBMA3、下列命题不正确的是A．过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直；B．如果平面的一条斜线在平面内的射影与某直线垂直，则这条斜线必与这条直线垂直；C．两异面直线的公垂线有且只有一条；D．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行。4、若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确的个数为①//mnnm②//mmnn③//mmnn④//mnmnA．1个B．2个C．3个D．4个5、四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是A．各侧面是正三角形B．底面是正方形C．各侧面三角形的顶角为45度D．顶点到底面的射影在底面对角线的交点上6、若点A（42，4－μ，1+2γ）关于y轴的对称点是B（－4λ，9，7－γ），则λ，μ，γ的值依次为A．1，－4，9B．2，－5，－8C．－3，－5，8D．2，5，87、已知一个简单多面体的各个顶点处都有三条棱，则顶点数V与面数F满足的关系式是A．2F+V=4B．2F－V=4C．2F+V=2（D）2F－V=28、侧棱长为2的正三棱锥，若其底面周长为9，则该正三棱锥的体积是A．239B．433C．233D．4399、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB，BB1的中点，A1E与C1F所成的角是θ，则.....word可编辑..A．θ=600B．θ=450C．52cosD．52sin10、已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点的八面体的体积与球体积之比是A．2∶πB．1∶2πC．1∶πD．4∶3π11、设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0ACAB，0ADAC，0ADAB，则△BCD是A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定12、将B=600,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,若[60°,120°],则折后两条对角线之间的距离的最值为A．最小值为43,最大值为23B．最小值为43,最大值为43C．最小值为41,最大值为43D．最小值为43,最大值为23二、填空题：（本大题共6题，每小题3分，共18分）13、已知向量a、b满足|a|=31，|b|=6，a与b的夹角为3，则3|a|－2（a·b）+4|b|=________；14、如图，在四棱锥P－ABCD中，E为CD上的动点，四边形ABCD为时，体积VP－AEB恒为定值（写上你认为正确的一个答案即可）．ABCDEP15、若棱锥底面面积为2150cm，平行于底面的截面面积是254cm，底面和这个截面的距离是12cm，则棱锥的高为；16、一个四面体的所有棱长都是2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为．三、解答题：（本大题共6题，共46分）17.在如图7-26所示的三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AC=1，PC=BC，PB和平面ABC所成的角为30°。（1）求证：平面PBC⊥平面PAC；（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；.....word可编辑..（3）求AB的中点M到直线PC的距离。18．如图8-32，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC⊥侧面AC1。（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角（锐角）的度数。19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角A′—DE—B。（1）求证：平面A′GF⊥平面BCED；（2）当二面角A′—DE—B为多大时，异面直线A′E与BD互相垂直？证明你的结论。20.如图7-29，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BAD=60°，AB=4，AD=2，侧棱PB=15，PD=3。（1）求证：BD⊥平面PAD；（2）若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角P—BC—A的大小。.....word可编辑..21.如图7-30，已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于△ABC的高CD上。AB=a,VC与AB之间的距离为h，M∈VC。（1）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；（2）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；（3）若∠MDC=∠CVN=θ（0θ2），求四面体MABC的体积。22.如图7-31，已知矩形ABCD，AB=2AD=2a,E是CD边的中点，以AE为棱，将△DAE向上折起，将D变到D′的位置，使面D′AE与面ABCE成直二面角（图7-32）。（1）求直线D′B与平面ABCE所成的角的正切值；（2）求证：AD′⊥BE；（3）求四棱锥D′—ABCE的体积；（4）求异面直线AD′与BC所成的角。.....word可编辑..高二数学立体几何答案一、选择题：1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、B9、C10、C11、C12、B二、填空题：13、2314、AB∥CD15、30cm16、3三、解答题17.解（1）由已知PA⊥平面ABC，PA=AC=1，得△PAC为等腰直角三角形，PC=CB=2。在Rt△PAB中，∠PBA=30°，∴PB=2，∴△PCB为等腰直角三角形。∵PA⊥平面ABC，∴AC⊥BC，又AC∩PC=C，PC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∵BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC。（2）三个侧面及底面都是直角三角形，求得侧面PAC的面积为21，侧面PAB面积值为23，侧面PCB面积值为1，底面积值为22。三个侧面面积的算术平均数为633。∵633-22=62333，其中3+3-32=（3-22）+（3-2）=（9-8）+（3-2）0,∴三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。（3）如图，过M作MD⊥AC，垂足为D。∵平面PAC⊥平面ABC且相交于AC，∴MD⊥平面PAC。过D作DE⊥PC，垂足为E，连结ME，则DE是ME在平面PBC上的射影，∵DE⊥PC，∴ME⊥PC，ME的长度即是M到PC的距离。.....word可编辑..在Rt△ABC中,∵MD∥BC，∴MD=21BC=22。在等腰Rt△PAC中，DE=DCsin45°=42，在Rt△ABC中,∵MD∥BC，∴MD=21BC=22。在等腰Rt△PAC中，DE=DCsin45°=42，∴ME=22DEMD=8121=410，即点M到PC的距离为410。18.解（1）在截面A1EC内，过E作EG⊥A1C，G是垂足。∵面A1EC⊥面AC1，∴EG⊥侧面AC1，取AC的中点F，连结BF，FG，由AB=BC得BF⊥AC。∵面ABC⊥侧面AC1，∴BF⊥侧面AC1，得BF∥EG。由BF，EG确定一个平面，交侧面AC1于FG。∵BE∥侧面AC1，∴BE∥FG，四边形BEGF是平行四边形，BE=FG。∵BE∥AA1，∴FG∥AA1。又△AA1C∽△FGC，且AF=FC，∴FG=21AA1=21BB1，即BE=21BB1，故BE=EB1。（2）分别延长CE、C1B1交于点D，连结A1D。∵EB1∥CC1，EB1=21BB1=21CC1，∴DB1=21DC1=B1C1=A1B1。∵∠B1A1C1=∠B1C1A1=60°，∠DA1B1=∠A1DB1=21(180°-∠DB1A1)=30°，∴∠DA1C1=∠DA1B1+∠B1A1C1=90°，即DA1⊥A1C1。∵CC1⊥平面A1C1B1，即A1C1是A1C在平面A1C1D上的射影，根据三垂线定理得DA1⊥A1C1，∴∠CA1C1是所求二面角的平面角。∵CC1=AA1=A1B1=A1C1,∠A1C1C=90°，∴∠CA1C1=45°，即所求二面角为45°。19.解（1）∵△ABC是正三角形，AF是BC边的中线，∴AF⊥BC。又D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥21BC。∴AF⊥DE，又AF∩DE=G，∴A′G⊥DE，GF⊥DE，∴DE⊥平面A′FG，又DE平面BCED，∴平面A′FG⊥平面BCED。（2）∵A′G⊥DE，GF⊥DE，∴∠A′GF是二面角A′—DE—B的平面角。∵平面A′GF∩平面BCED=AF，.....word可编辑..作A′H⊥AG于H，∴A′H⊥平面BCED。假设A′E⊥BD，连EH并延长AD于Q，则EQ⊥AD。∵AG⊥DE，∴H是正三角形ADE的重心，也是中心。∵AD=DE=AE=2a，∴A′G=AG=43a,HG=31AG=123a。在Rt△A′HG中，cos∠A′GH=GAHG'=31.∵∠A′GF=π-∠A′GH,∴cos∠A′GF=-31，∴∠A′GF=arcos(-31)，即当∠A′GF=arcos(-31)时，A′E⊥BD。20.解（1）由已知AB=4，AD=2，∠BAD=60°，得BD2=AD2+AB2-2AD·ABcos60°=4+16-2×2×4×21=12。∴AB2=AD2+BD2，∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，即AD⊥BD。在△PDB中，PD=3，PB=15，BD=12，∴PB2=PD2+BD2，故得PD⊥BD。又PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD。（2）∵BD⊥平面PAD，BD平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD。作PE⊥AD于E，又PE平面PAD，∴PE⊥平面ABCD，∴∠PDE是PD与底面BCD所成的角，∴∠PDE=60°，∴PE=PDsin60°=3·23=23。作EF⊥BC于F，连PF，则PF⊥BC，∴∠PFE是二面角P—BC—A的平面角。又EF=BD=12，∴在Rt△PEF中，.....word可编辑..tan∠PFE=EFPE=3223=43。故二面角P—BC—A的大小为arctan43。21.解（1）由已知，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB平面ABC，得VN⊥AB。又∵CD⊥AB，DC∩VN=N∴AB⊥平面VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，∴∠MDC为二面角M—AB—C的平面角。（2）由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV=∠MCD，且∠VNC=90°，∴∠DMC=∠VNC=90°，故有DM⊥VC。又AB⊥VC，∴VC⊥平面AMB。（3）由（1）、（2）得MD⊥AB，MD⊥VC，且D∈AB，M∈VC，∴MD=h。又∵∠MDC=θ.∴在Rt△MDC中，CM=h·tanθ。∴V四面体MABC=V三棱锥C—ABM=31CM·S△ABM=31h·tanθ·21ah=61ah2tanθ22.解（1）∵D′—AE—B是直二面角，∴平面D′AE⊥平面ABCE。作D′O⊥AE于O，连OB，则D′O⊥平面ABCE。∴∠D′BO是直线D′B与平面ABCE所成的角。∵D′A=D′E=a，且D′O⊥AE于O，∠AD′E=90°∴O是AE的中点，AO=OE=D′O=22a,∠D′AE=∠BAO=45°。.....word可编辑..∴在△OAB中，OB=ABcos45222OAABOA=222a))(22(2)·2()22(22aaa=210a。∴在直角△D′OB中，tan∠D′BO=OBOD'=55。（2）如图，连结BE，∵∠AED=∠BEC=45°，∴∠BEA=90°，即BE⊥AE于E。∵D′O⊥平面ABCE，∴D′O⊥BE，∴BE⊥平面AD′E，∴BE⊥AD′。（3）四边形ABCE是直角梯形，∴SABCE=21（a+2a）·a=23a2。∵D′O是四棱锥的高且D′O=22a,∴VD′—ABCE=31（22a）·（23a2）=42a3。（4