2.5《平面向量应用举例》课件

2.5平面向量应用举例由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.本节课我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用，向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.1.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；2.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示.；3.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.一.复习:1.平面向量数量积的含义:2.平面向量数量积的运算律.3.重要性质:(1)(2)(3)设a、b都是非零向量,则≤(4)cos=||||ababab为，的夹角//ab当且仅当时，等号成立．若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AB|=2211xy212212yyxx向量的长度(模)222221212121yxyxyyxx||||abab＝cos向量的夹角公式1212xxyy向量数量积的坐标表示ab＝||a设为两个向量,1122,,,axybxy,ab向量平行和垂直的坐标表示02121yyxxba1221//abxyxy设为两个向量,1122,,,axybxy,ab问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD,DBABADABCD猜想：1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？一、平面几何中的向量方法例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和.ABDC已知：平行四边形ABCD,求证：222222BDACDACDBCABbADaAB,解：设，则baDBbaACaDAbBC;,,分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设其它线段对应向量用它们表示。bADaAB,)(2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa∴222222BDACDACDBCAB例2如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ABCDEFRT猜想：AR=RT=TC解：设则,,,ABaADbARrACab由于与共线，故设ARAC(),rnabnR又因为共线，所以设EREB与12()，ERmEBmab因为所以ARAEER1122()rbmab1122()()nabbmab因此ABCDEFRT102()()mnmanb即,由于向量不共线ab0102，，nmmn1解得：n=m=3111333,,ARACTCACRTAC所以同理于是故AT=RT=TC.ABCDEFRT练习.证明直径所对的圆周角是直角.ABCO如图所示，已知⊙O，AB为直径，C为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90°分析：要证∠ACB=90°，只须证向量，即CBAC0CBAC解：设则，由此可得：bOCaAO,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即，∠ACB=90°0CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？ab（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：简述：形到向量向量的运算向量和数到形1.向量在力学中的应用思考1：如图，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个重量是10N的灯具，根据力的平衡理论，每根绳子的拉力与灯具的重力具有什么关系？每根绳子的拉力是多少？120°OCBA10N|F1|=|F2|=10NF1+F2+G=0二、平面向量在物理中的应用思考2：两个人共提一个旅行包，或在单杠上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？夹角越大越费力.思考3：若两只手臂的拉力为F1、F2，物体的重力为G，那么F1、F2、G三个力之间具有什么关系？F1＋F2＋G=0.思考4：假设两只手臂的拉力大小相等，夹角为θ，那么|F1|、|G|、θ之间的关系如何？FF1F2Gθ思考5：上述结论表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于夹角θ的函数.在物理学背景下，这个函数的定义域是什么？单调性如何？θ∈[0°，180°)思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1|与|G|可能相等吗？为什么？θ∈[0°，180°)2.向量在运动学中的应用思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘船从A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船的实际速度v的大小是多少？A|v|=㎞/h.思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？v1v2v60°|v|2＝|v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航程最短？v1v2vABC与上游河岸的夹角为78.73°.思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船行驶到对岸至少要几分钟？例3一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.东CBA北西南位移的方向是南偏西30°，大小是km.一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2|=4N，方向为东偏北30°，|F3|=6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功.东F1北西南F2F3W=F·s=J.1.利用向量解决物理问题的基本步骤：①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.P113习题2.5A组：3，4.B组：2.敬请指导.