交互作用双因子方差分析

如果在试验中有两个可控制因素BA,，同时发生变化，而其它可控制因素均保持不变，这样的试验称为双因素试验。双因素试验方差分析的作用是同时鉴别两个因素对结果可能产生的影响。一、双因素方差分析的类型例如饮料销售，除了关心饮料颜色之外，我们还想了解销售地区是否影响销售量，如果在不同的地区，销售量存在显著的差异，就需要分析原因。采用不同的销售策略，使该饮料品牌在市场占有率高的地区继续深入人心，保持领先地位；在市场占有率低的地区，进一步扩大宣传，让更多的消费者了解、接受该生产线。双因素方差分析的类型无交互作用的双因素方差分析有交互作用的双因素方差分析假定因素A和因素B的效应之间是相互独立的，不存在相互关系假定因素A和因素B的结合会产生出一种新的效应设因素A有r个不同的水平rAA,,1，因素B有s个不同的水平sBB,,1，现对因素A、B的每一种不同的水平组合:jiBA,sjri,,2,1;,,2,1都安排2tt次试验（称为等重复试验），假定各次试验是相互独立的，得到如下试验结果：二、数据结构1B2B……sB1Atxxx11112111,,,txxx12122121,,,……stssxxx12111,,,2Atxxx21212211,,,txxx22222221,,,……stssxxx22212,,,……………………rAtrrrxxx11211,,,trrrxxx22221,,,……rstrsrsxxx,,,211.双因素方差分析的数据结构如表所示：在水平组合jiBA,下的t次试验，由于所有可控制因素均没有发生变化，试验结果ijtijijxxx,,,21的差异纯粹是由随机因素引起的，故可将数据ijtijijxxx,,,21看成是来自正态总体2,~ijijuNX（6.19）的t个样本观测值.对不同的水平组合jiBA,，假定各总体的方差相等，但均值iju可能存在差异。2.双因素试验的方差分析的数学模型,1,2(1,2ijijijXuirAjsB因素的水平），因素的水平，2(0,)ijN相互独立同分布111rsijijuurs记：——理论总均值11siijjuuAis记：—因素在水平下的理论平均11rjijiuur记：—因素B在j水平下的理论平均uuuuuuuuuujiijjiij显然iAiA它是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；=iiuu记：=jjuu记：jBjB它是水平下的理论均值与理论总均值的偏差，称为水平下的效应；ijijijruuuu记：jiijuuijruuijiAijBjjiBA,所以是总效应减去的效应和的效应后的剩余部分，称为水平组合的交互效应。于是2,~ijijuNX可以等价的表示为：2,0~NuuXijijijjiijijij，sjri,,2,1;,,2,1这表明，在因素BA,的不同水平组合下，试验结果的相对差异uuij（视为总效应）是由如下四部分组成：（1）水平iA下的效应i；（2）水平jB下的效应j；（3）水平组合jiBA,的交互效应ij；（4）随机因素引起的随机波动ij.011111ruusuurisjijriirii011111suuruusjriijsjjsjj11=0rrijijijiiuuuu11=0ssijijijjjuuuu因此，要鉴别因素A是否对结果有显著影响，只需鉴别因素A水平的改变是否导致试验结果的明显变化，这等价于检验因素A各水平的效应是否相等，即检验假设rH2101:（6.28）是否成立。类似地，要鉴别因素B是否对结果有显著影响，等价于检验假设sH2102:（6.29）是否成立。要鉴别因素A与因素B是否存在交互效应，等价于检验假设ijH:03sjri,,2,1;,,2,1全相等（6.30）是否成立。由于011111ruusuurisjijriirii，因此，如果01H成立，那么因素A各水平的效应必皆为0.类似地，由011111suuruusjriijsjjsjjrijiijriijuuuu1101jjrijijruruuusjjiijsjijuuuu1101iisjiijsusuuu所以，如果02H成立，那么因素B各效应的水平皆为零；如果03H成立，那么0ijsjri,,2,1;,,2,1.以上3个假设01H、02H、03H中的三组参数i、j、ij都是未知的，为了对三个假设成立与否进行检验，仍只能依据试验观测值ijkx（tksjri,,1;,,2,1;,,2,1）并且仍是从分析这组数据的离散性着手。记risjtkijkxrstx1111称为样本总平均；tkijkijxtx11称为水平组合jiBA,下的样本均值；sjtkijkixstx111称为水平iA下的样本均值；ritkijkjxrtx111称为水平jB下的样本均值。考虑总变差平方和risjtkijkTxxS11122的如下分解：三、离差平方和的分解risjtkijkTxxS11122=2111risjtkjiijjiijijkxxxxxxxxxxrisjtkijijkxx1112risjtkixx1112risjtkjxx1112risjtkjiijxxxx1112+（交叉乘积项）可以验证上式右边所有的交叉乘积项皆为零记2ESrisjtkijijkxx1112称为误差平方和。2ASrisjtkixx1112称为因素A的主效应偏差平方和。2BSrisjtkjxx1112称为因素B的主效应偏差平方和。2BASrisjtkjiijxxxx1112称为BA的交互效应偏差平方和。则得到总变差平方和的分解式：22222BABAETSSSSS（6.31）下面分析2ESrisjtkijijkxx1112在i、j给定时，t个数据ijkx（tk,,2,1）与其平均值ijx的偏差平方和tkijijkxx12纯粹是由随机因素引起的，因此，在各种水平组合下总的误差平方和2ES就基本上刻划了整个试验中随机因素作用的强度，以它为尺度来比较各种效应的大小应该说是合理的。从矩估计的角度看，x、ix、jx、ijx分别是u、iu、ju、iju的估计值，因此，xxi可作为uuii的估计值；xxj可作为uujj的估计值；xxxxjiij可作为uuuurjiijij的估计值。若01H成立，即021r，那么，虽然不能苛求做为诸i的估计值之平方和的若干倍的2AS（riirisjtkixxstxx121112）恰好等于零，但相对于2ES来说一定不应太大，倘若22EASS超过某个界限值1k，我们就有理由拒绝01H，故取01H的拒绝域为12201kSSWEA（6.32）经过类似的分析，取02H的拒绝域为22202kSSWEB（6.34）03H的拒绝域为32203kSSWEBA（6.35）为了确定界限值1k、2k、3k，按照显著性检验的一般步骤，我们需要知道当相应的原假设成立时各检验统计量的分布，可以证明，在01H成立时1,1~1122trsrFtrsSrSEA（6.36）在02H成立时1,1~1122trssFtrsSsSEB（6.37）在03H成立时1,11~11122trssrFtrsSsrSEBA（6.38）若控制犯第一类错误的概率不超过，可得1,1111trsrFtrsrK1,1112trssFtrssK1,111113trssrFtrssrK通常是直接给出其拒绝域1,1112201trsrFtrsSrSWEA1,1112202trssFtrsSsSWEB1,111112203trssrFtrsSsrSWEBA在方差分析的实际应用中，仍是规范为填写如下的方差分析表方差来源平方和自由度均方比值显著性因素A2AS1r122rSSAA22EAASSF因素B2BS1s122sSSBB22EBBSSF交互效应BA2BAS11sr1122srSSBABA22EBABASSF随机因素2ES1trs122trsSSEE总和2TS1rst四、双因素方差分析的步骤双因素方差分析的步骤与单因素分析类似，主要包括以下步骤：1.分析所研究数据能否满足方差分析要求的假设条件，需要的话进行必要的检验。如果假设条件不满足需要先对数据进行变换。在有交互作用的双因素方差中，要说明两个因素的交互作用是否显著还要检验第三组零假设和备择假设：0:210rH0:211不全为，，，rH0:210sH0:211不全为，，，sH0)()(:rs12110H0)()()(:rs12111不全为，，，H2、提出零假设和备择假设。双因素方差分析可以同时检验两组或三组零假设和备择假设。要说明因素A有无显著影响，就是检验如下假设：要说明因素B有无显著影响，就是检验如下假设：3、计算F检验值。4、根据实际值与临界值的比较，或者p-值与α的比较得出检验结论。与单因素方差分析的情况类似，对FA、FB和FAB，当F的计算值大于临界值Fα（或者p-值α）时拒绝零假设H0。例，在注塑成形过程中，成形品尺寸与射出压力和模腔温度有关，某工程师根据不同水平设置的射出压力和模腔温度实验得出某成形品的关键尺寸如下表，用方差分析法分析两因素及其交互作用对成形品关键尺寸是否存在重要影响。因素A：射出压力水平1水平2水平3因素B模腔温度水平130.5130.6230.4730.6730.8430.88水平230.9730.8030.2930.4230.7930.89水平330.9931.2629.8630.1130.6230.56五、应用实例1、将实际问题转化为统计问题。转化的统计问题为：a、射出压力不同设置水平时成形品尺寸均值是否相同b、模腔温度不同水平设置对成形品尺寸均值是否相同c、射出压力与模腔温度不同设置水平组合产生不同的交互作用时成形品尺寸均值是否相同2、建立假设。H0：μA1=μA2=μA3；Hα：至少有一个μAi与其它不等；3、确定可接受的α风险系数α=0.054、进行方差分析根据本节所讲的双因素有交互作用方差公式，我们需计算SST、SSA、SSB、SSAB、SSe，然后用方差分析表进行分析即可。H0：μB1=μB