24.1.2---垂直于弦的直径课件-人教新课标版

24.1.2垂直于弦的直径墨红镇中学李应稳问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.问题情境你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．一、实践探究如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E点．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？·OABCDE二、（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合．因此AE=BE即直径CD平分弦ＡＢ，并且平分AB及ACB⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD⌒⌒⌒OBCD·AE⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．归纳条件结论换言之：垂径定理：若一条直线满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，则它（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．也可以说：直径垂直于弦垂径定理三种语言1.定理垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所的两条弧老师提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）·OABCDE⌒AC与BC相等吗？AD与BD相等吗？为什么？⌒⌒⌒三、③AM=BM,由①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒⑤AD=BD.⌒⌒④AC=BC,②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.可推得ＤＣＡＢＥＯ推论：判断下列说法的正误①平分弧的直径必平分弧所对的弦②平分弦的直线必垂直弦③垂直于弦的直径平分这条弦④平分弦的直径垂直于这条弦⑤弦的垂直平分线是圆的直径⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧小试牛刀：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。解：连结OA，作OE⊥AB于点E，则OE＝3厘米，AE＝BE.∵AB＝8厘米∴AE＝4厘米在RtAOE中，据勾股定理有OA＝5厘米∴⊙O的半径为5厘米。注意：圆心到弦的距离叫弦心距.AEBO解决求赵州桥拱半径的问题AB如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．AB=48米，CD=16米BODACR实践应用：⌒⌒⌒⌒⌒·OABCDE若直径平分弦（弦不是直径），则这条直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.归纳：或者说：若直径平分一条不是直径的弦，则这条直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.几何语言表述：AC=BCCD⊥AB,由CD是直径AE=BE可推得⌒⌒AD=BD⌒⌒ＤＣＡＢＥＯ定理及推论，总结：一条直线只需满足：条件（1）过圆心（2）垂直于弦，（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧．中的任意两个条件，就能推出其它三个.简称“知二推三”.如图，AB是⊙O的一条弦，CD是直径，且AE=BEOE=5，AB=24，求⊙O的半径·OABCDE练一练：驶向胜利的彼岸挑战自我填一填1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）.(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）√驶向胜利的彼岸挑战自我画一画2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.FEOMNABCD1.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.提高练习2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．4:在圆O中，直径CE⊥AB于D，OD=4㎝，弦AC=㎝，求圆O的半径。10DCEOAB反思：在⊙O中，若⊙O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据定理求出第三个量：CDBAO3：如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长。DCEOAB垂径直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.练习5:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。EDOCAB6已知：⊙O中弦AB∥CD。求证：AC＝BD⌒⌒.MCDABON证明：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒总结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABO.CDABOCDABOMNMMNEE.ACDBO.ACDBO.ABO.ABOABO船能过拱桥吗2.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？相信自己能独立完成解答.船能过拱桥吗解:如图,用表示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得ABABABAB.5.121,4.2,2.7MNHNCDABABAD21,6.32.721DCOCOD.4.2R在Rt△OAD中，由勾股定理，得,222ODADOA.)4.2(6.3222RR即解得R≈3.9（m）.在Rt△ONH中，由勾股定理，得,22HNONOH.6.35.19.322OH即.21.25.16.3DH∴此货船能顺利通过这座拱桥.垂径定理的应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAOED┌600垂径定理的逆应用在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB=600mm，求油的最大深度.BAO600ø650DC课后小结1、要把实际问题转变成一个数学问题来解决.2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想来解决问题.3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：⑴d+h=r⑵222)2(adrhda2O1.垂径定理课后小结2.垂径定理的推论3.垂径定理的应用4.作业：P