24.1.2-垂直于弦的直径课件

问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴．不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗??ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：1、图中有哪些相等的量？O2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？CD1.图中有哪些相等的量？？O3.将弦AB进行平移时，以上结论是否仍成立？ABAB4.当弦AB与直径CD不垂直时,以上结论是否仍成立？思考演示?2.AB作怎样的变换时，AC=BC,AD=BDE⌒已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。⌒⌒⌒⌒叠合法·OABCDE把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ和ＢＣ重合，ＡＤ和ＢＤ重合．⌒⌒⌒⌒OEDCBATheexplorationdiscovered垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。即：如果CD过圆心，且垂直于AB，则AE=BE,AD=BD,AC=BC注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可。⌒⌒⌒⌒几何语言：∵CD是直径,AB为⊙O的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ·OBCDAE∴ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒ABDEOCFG如图，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ(不是直径)时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？AC=BC,AD=BD吗？为什么？如果弦ＡＢ也是直径，上述结论是否成立？⌒⌒⌒⌒推论:1、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.1、几何语言:∵CD是直径,AB为⊙O的弦（不是直径）,且ＡＥ＝ＢＥ∴ＣＤ⊥ＡＢAC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒2、平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦（不是直径）,并且平分弧所对的弦.EDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是不是是不是OEDCABEDCOABOBCADDOBCAOBAC垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CD⊥AB于EAE=BEAC=BCAD=BD1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。·OABE2.若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=cm。例如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。OEBA若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB的长。若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr若下面的弓形高为h，则r、d、h之间有怎样的关系?r=d+h即右图中的OE叫弦心距.Rammingfoundation变式1：AC、BD有什么关系？OABCD变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。OABCD变式4：______AC=BD.OABCD变式5：______AC=BD.Rammingfoundation如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。OBAPRammingfoundation你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?37.4m7.2mABOCE2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。OAB垂径定理定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.活动一：复习导入推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.（2005，天津）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点AB=10cm,PB=4cm,PO=5cm则⊙O的半径等于cm活动二：名题引路0ABPC7解：连AO，过O点作OC⊥AB于C∴AC=BC=1/2AB=5cm∵BP==4cm∴CP=1cm在Rt△OPC中，PO=5cm，CP=1cm∴OC2=52-12=24在Rt△OAC中，AO2=AC2+OC2=25+24=49∴AO=7cm5152、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=cm（2）最短的弦=cm活动四：顺利闯二关OPABCD108543如图，⊙O的直径AB=16cm，M是OB的中点，弦CD经过点M，∠CMA=30°，则CD=cm活动三：轻松过一关MOABCDE2481541、（1）⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,①请画出图形②根据图形，求出AB与CD之间的距离是。(2)你能直接写出此题的答案么：⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD,AB=6cm,CD=8cm,则以A、B、C、D为顶点的四边形的面积等于cm活动四：顺利闯二关49cm或7cm7cm或1cm1、（2007，定西）如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是。活动五：快乐冲三关OPABc3cm≤OP≤5cm4532、（2007，江西）如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F,EF=。活动五：快乐冲三关OABPEF4两条辅助线：半径弦心距活动六：畅谈体会•一个Rt△：半径半弦弦心距222)2(adr1、在半径为6cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm和7cm的两条线段，求圆心到两弦的距离。2、如图，已知AB是的直径，CD是弦，若AB=10cm，CD=8cm，求A、B两点到直线CD的距离之和。活动七：布置作业DCOBAEF