函数平均变化率

如何用数学来反映山势的平缓与陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yO例：如图，是一座山的剖面示意图:A是登山者的出发点,H是山顶,登山路线用y=f(x)表示；问题：当自变量x表示登山者的水平位置，函数值y表示登山者所在高度时，陡峭程度应怎样表示？登山问题xHABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx1x2y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)选取平直山路AB放大研究:若),(),,(1100yxByxA01xxx01yyy自变量的改变量函数值的改变量xyxxyyxxyyk10100101直线AB的斜率:xyD1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)xyxxyyk0101直线AB的斜率:xyxxyyk23231直线CD1的斜率:xy0x0x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)011yyyy2C(x2,y2)022yyyy3D(x3,y3)033yyyy4E(x4,y4)044yyyy0x0x1OYx01xxxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)xy1xy2xy3xy4显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平位移之比的绝对值越大，山坡越陡；反之，山坡越平缓。（举例）yx现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许多小段，每一小段的山坡可视为平直的。可以近似地刻画。（举例：地球表面与平面）（微分思想）函数图象上也有类似定义，由此我们引出函数平均变化率的概念。yx思考：比值表示的意义是什么？（举例：如地产量）它表示每一个单位上的函数值的平均增量。平均变化率曲线陡峭程度数形变量变化的快慢建构数学华罗庚函数的平均变化率已知函数在点及其附近有定义，令,则当时,比值叫做函数在到之间的平均变化率)(xfy0xx0xxx)()()()(0000xfxxfxfxfyyy0xxyxxfxxf)()(00)(xfy0xxx0思考:函数平均变化率的几何意义？00()()fxxfxxOABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直线AB的斜率函数平均变化率:函数值的改变量与自变量的改变量之比•观察函数f(x)的图象00()()fxxfx过曲线上的点割线的斜率。()yfx00(,()xfx和00(x,(x)xfx思考：（1）△x、△y的符号是怎样的？（2）该变量应如何对应？理解：2、对应性：若).()(,1212xfxfyxxx则;,0,11212但可正可负即附近的任意一点是、xxxxx.)()(12可正可负，也可为零xfxfy美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险，拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉，毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。例1.求函数在到之间的平均变化率2xy0xxx0解:当函数在到之间变化的时候2xy0xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxfxy02020002)()()(分析:当取定值,取不同数值时,该函数的平均变化率也不一样.x0x(2)求函数在到之间的平均变化率xy10xxx0解:当函数在到之间变化的时候0xxx0xy1函数的平均变化率为000000)(111)()(xxxxxxxxxfxxfxy路程乙甲to乙甲100myt0to图1图2课堂练习：甲乙二人跑步路程与时间的关系以及百米赛跑路程和时间的关系分别如图（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一个跑得快？（2）甲乙二人百米赛跑，快到终点时，谁跑得比较快？例3：已知函数，计算函数在下列区间上的平均变化率。2)(xxf解:当函数在到之间变化的时候2xy0xxx0函数的平均变化率为xxxxxxxxfxxf02020002)()()(xxy变化区间自变量改变量平均变化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………要精确地描述非匀速直线运动，就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度．如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+t这段时间内，当t0时平均速度的极限．即vttsttstsvt)()(lim0瞬时速度函数的瞬时变化率设函数在附近有定义，当自变量在附近改变时，函数值相应的发生改变如果当趋近于０时，平均变化率趋近于一个常数，则数称为函数在点处的瞬时变化率。)(xfy0xx0xx)()(00xfxxfyxxxfxxf)()(00ll)(xfy0x导数的概念也可记作oxxy★若这个极限不存在，则称在点x0处不可导。设函数y=f(x)在点x=x0的附近有定义，当自变量x在x0处取得增量△x(点x0+△x仍在该定义内）时，相应地函数y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y与△x之比当△x→0的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数记为0()fx00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx即说明：)(xf0x0xxyxy0x（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点x是自变量x在0x处的改变量，0x，而y是函数值的改变量，可以是零．（2）)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:例:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?t)(s105.69.4)(2ttthst1mst5.06.1)5.0(/hst1ththth)1()1(ttt1015.619.410)1(5.6)1(9.4223.39.4t3.3同理，thh1/运动员在时的瞬时速度为，3.3)1(/hst1sm/3.3st5.0smh/6.1)5.0(/sm/6.1上升下落这说明运动员在附近，正以大约的速率。3.39.4t0limt)(lim0t3.31/hst5.0sm/0x割线PQ的的变化情况２．在的过程中，请在函数图象中画出来．你能描述一下吗？)(xfyPQxyM求已知曲线的切线.0()Kfx切作业•课本82.B2•报纸A14•一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.•二是:求已知曲线的切线.00()(),VtSt0()Kfx切例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为xh2()715(08).fxxxx计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。3.1.1导数的几何意义00()()nnnfxfxkxxPxy00x()yfxTnx•一是:根据物体的路程关于时间的函数求速度和加速度.•二是:求已知曲线的切线.00()(),VtSt0()Kfx切课堂小结：函数的平均变化率函数的瞬时变化率0xxxfxxfxy)()(00lxxfxxfxy)()(00l例、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为xh2()715(08).fxxxx计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。3.1.1导数的几何意义00()()nnnfxfxkxxPxy00x()yfxTnxPxyo0x()yfxT0000()()()(,())yfxxfxyfxMxfx函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。0000()()lim()xfxxfxkxfx00()(,())yfxMxfx曲线在点处000()()yyfxxx的切线方程为0tan()PTkfx即圆的切线定义并不适用于一般的曲线。通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不惟一）适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。2l1lxyABCPPP根据导数的几何意义，在点P附近，曲线可以用在点P处的切线近似代替。大多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”（以简单的对象刻画复杂的对象）1.在函数的图像上，(1)用图形来体现导数，的几何意义.105.69.4)(2ttth3.3)1(/h6.1)5.0(/hh0.15.0Ot(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t(2)请描述，比较曲线分别在附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在附近呢？,0t,1t2t,3t4t增（减):增（减）快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率（正或负）即：瞬时变化率（导数）（数形结合，以直代曲）画切线即：导数的绝多值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜程度（陡峭程度）以简单对象刻画复杂的对象(2)曲线在时，切线平行于x轴，曲线在附近比较平坦，几乎没有升降．0t曲线在处切线的斜率0在附近，曲线，函数在附近单调0t,1t,1t2t如图，切线的倾斜程度大于切线的倾斜程度，2t1t,3t4t大于上升递增2l1l3l4l3t4t上升这说明曲线在附近比在附近得迅速．2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t递减下降小于下降,3t4t2．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,（数形结合，以直代曲）以简单对象刻画复杂的对象)(0/xf)(/xf抽象概括：是确定的数是的函数x导函数的概念：)(/xfxxfxxfxfx)(lim0000/xxfxxfxfx)(lim0/t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率3.004.15.0小结：１.函数在处的导数的几何意义，就是函数的图像在点处的切线AD的斜率（数形结合）)(xf0xx0/xf)(xf)(,00xfxAxxfxxfxfx)()(lim)(0000/＝切线AD的斜率3.导函数(简称导数)xxfxxfxfx)()(lim)(0/2.利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”