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《《《2013厦厦厦门门门大大大学学学616数数数学学学分分分析析析真真真题题题》》》入入入学学学考考考试试试试试试题题题科目代码：616科目名称：数学分析招生专业：数学科学学院各专业一一一、、、（（（16分分分）））设数列{xn}单调递增、非负，并且limn→∞xn=a,证明limn→∞(a21+a22+:::+ann)1n=a二二二、、、（（（15分分分）））设函数f在[a,b]上为单调函数，且f(a)a;f(b)b。求证存在x0∈[a;b]使得f(x0)=x0。三三三、、、（（（15分分分）））设f∈C[a;b],且∫10f(x)dx=∫10xf(x)dx=0,∫10x2f(x)dx=1，求证存在x0∈[0;1]，满足 f(x0) ≥12四四四、、、（（（15分分分）））函数u=u(x,y)在整个平面上有二阶连续的偏导数。求证∆u=@2u@2x+@2u@2y̸=0的充分必要条件是IC@u@−→nds=0，其中−→n为光滑封闭曲线C的单位外法向量。五五五、、、（（（15分分分）））设函数f在区间[a,b]可导，f(a+b2)=0，且 f′(x) ≤M,证明 ∫baf(x)dx ≤M2(a−b)21六六六、、、（（（20分分分）））设{fn}为闭区间[a,b]上的一个函数列，并且满足(1)对任何z∈[a;b],fn(z)是一个有界数列;(2)∀0;∃0，使得当 x−y 时，对一切自然数，有‘ fn(x)−fn(y) 七七七、、、（（（20分分分）））设f在区间[a,b]上非负，连续且limx→∞f(x)=0(1)证明f在区间[a,b]上取到最大值;(2)f在区间[a,b]上能否取到最小值？（回答问题并说明理由）八八八、、、（（（20分分分）））设f在[0,∞)可微且有界，证明存在xn⊂[0,+∞)使得xn→∞并且f(xn)→0九九九、、、（（（15分分分）））计算二重积分∫∫∑zdxdy，其中∑是三角形{(x;y;z):x;y;z≥0;x+y+z=1}。2