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第3讲导数及其应用专题二函数与导数栏目索引高考真题体验1热点分类突破2高考押题精练3高考真题体验1231.(2016·四川改编)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝____.2解析∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)0，则f(x)单调递增；当x∈(－2,2)时，f′(x)0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.解析答案42.(2016·课标全国乙改编)若函数f(x)＝x－13sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是____________.－13，13答案解析12343.(2016·山东改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.给出四个函数①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝ex；④y＝x3，其中具有T性质的是_____.①解析对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.1x解析答案12344.(2016·天津)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为____.解析因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.解析答案312341.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.考情考向分析返回热点一导数的几何意义1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.热点分类突破解析答案x－y＋1＝0例1(1)函数f(x)＝excosx的图象在(0，f(0))处的切线方程为___________.解析f′(x)＝excosx＋ex(－sinx)，f′(0)＝e0cos0＋e0(－sin0)＝1，f(0)＝e0cos0＝1，f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.解析答案思维升华解析∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，(2)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_____.令y＝0，得x＝－54，∴所求面积S＝12×54×10＝254.254解析答案解析由题意得，y′＝(2－cosx)′sinx－(2－cosx)(sinx)′sin2x＝1－2cosxsin2x，跟踪演练1设曲线y＝2－cosxsinx在点π2，2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____.则曲线y＝2－cosxsinx在点π2，2处的切线的斜率为k1＝1－2cosπ2sin2π2＝1.因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－1a，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，1所以k1k2＝－1，解得a＝1.热点二利用导数研究函数的单调性1.f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.解析答案例2已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；解f′(x)＝ex(ax＋b)＋aex－2x－4＝ex(ax＋a＋b)－2x－4，∵y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4，∴f′(0)＝a＋b－4＝4，f(0)＝b＝4，∴a＝4，b＝4.思维升华(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解由(1)知f′(x)＝4ex(x＋2)－2(x＋2)＝2(x＋2)(2ex－1)令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝ln12，列表：x(－∞，－2)－2(ln，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗1(2,ln)21ln2∴y＝f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，ln12，＋∞；f(x)极大值＝f(－2)＝4－4e－2.单调减区间为－2，ln12.解析答案跟踪演练2(1)已知m是实数，函数f(x)＝x2(x－m)，若f′(－1)＝－1，则函数f(x)的单调递增区间是________________________.解析因为f′(x)＝3x2－2mx，所以f′(－1)＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.解析答案－∞，－43∪(0，＋∞)由f′(x)＝3x2＋4x0，解得x－43或x0，即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－43)∪(0，＋∞).(2)若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________.解析f(x)的定义域为(0，＋∞).由f′(x)＝0，得x＝12.据题意，得k－112k＋1，k－1≥0，解得1≤k32.f′(x)＝4x－1x.1，32解析答案热点三利用导数求函数的极值、最值1.若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.2.设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.解析答案例3已知函数f(x)＝ax－2x－3lnx，其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点23，f23处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在32，3上的最小值；思维升华(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.解f′(x)＝a＋2x2－3x＝ax2－3x＋2x2(x0),由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，则Δ＝9－8a0，x1＋x2＝3a0，x1x2＝2a0，也可以为Δ＝9－8a0，－－32a0，h(0)0解得0a98.故a的取值范围为0，98.解析答案解函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－2a2x2＋ax＋1x.解析答案跟踪演练3已知函数f(x)＝lnx＋ax－a2x2(a≥0).(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；因为x＝1是函数y＝f(x)的极值点，所以f′(1)＝1＋a－2a2＝0，解得a＝－12(舍去)或a＝1.经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f(x)的极值点，所以a＝1.解析答案返回解当a＝0时，f(x)＝lnx，显然在定义域内不满足f(x)0恒成立；当a0时，令f′(x)＝(2ax＋1)(－ax＋1)x＝0，得x1＝－12a(舍去)，x2＝1a，所以x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.x(，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘1(0)2，1a1a所以f(x)max＝f(1a)＝ln1a0，所以a1.综上可得，a的取值范围是(1，＋∞).1234押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点.押题依据高考押题精练解析答案1.设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝_____.4解析依题意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3，所以f(1)＋f′(1)＝4.1234押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.2.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则ab的值为________.押题依据－23答案解析1234押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别.押题依据解析答案3.已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于____.2解析∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，∴a2≥1，得a≥2.又∵g′(x)＝2x－ax，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2.1234解析4.已知函数f(x)＝x－1x＋1，g(x)＝x2－2ax＋4，若任意x1∈[0,1]，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是__________.押题依据返回答案押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决.考查了转化与化归思想，是高考的一个热点.94，＋∞