2015年中考数学总复习第18课时 锐角三角函数及其应用

2015年中考数学总复习第一轮第18课时锐角三角函数及其应用江西瑞昌梁先爱考点聚焦考点1锐角三角函数1．在△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AB＝5，则cosB的值是()A.45B.35C.34D.43AC第18课时锐角三角函数及其应用2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝2AC，则sinA的值是()A.3B.12C.32D.333．如图18－1，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是()A.23B.32C.21313D.31313图18－1B第18课时锐角三角函数及其应用【归纳总结】如图18－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝________，cosA＝bc，tanA＝________．图18－2acab第18课时锐角三角函数及其应用考点2特殊角的三角函数值1．在直角三角形中，如果有一个角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的________，根据这个定理我们可以得出sin30°＝_____．一半12等腰直角1第18课时锐角三角函数及其应用2．在直角三角形中，若有一个角为45°，则此三角形是________三角形，所以tan45°＝_____．【归纳总结】∠α三角函数30°45°60°sinα________22________cosα32________12tanα________1312322233第18课时锐角三角函数及其应用考点3解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝25，则BC的长为()A．4B．2C．221D．25A30°60°第18课时锐角三角函数及其应用2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝32，b＝36，则∠A＝________，∠B＝________，c＝__________．62【归纳总结】如图18－3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有下列关系：c290bc12ab图18－3第18课时锐角三角函数及其应用(1)三边的关系：a2＋b2＝________.(2)角的关系：∠A＋∠B＝________度．(3)边与角的关系：sinA＝cosB＝ac；sinB＝cosA＝_____；tanA＝ab.(4)面积关系：S＝________．考点4解直角三角形的应用1．如图18－4是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6m，迎水斜坡AB＝10m，若斜坡的坡角为α，则tanα的值为________．图18－434第18课时锐角三角函数及其应用2.如图18－5所示，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°，则塔高BC为________m.图18－545第18课时锐角三角函数及其应用【归纳总结】1．仰角和俯角如图18－6，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线________的角叫仰角；视线在水平线________的角叫俯角．图18－6上方下方第18课时锐角三角函数及其应用如图18－7，坡度坡角陡第18课时锐角三角函数及其应用＝hl，坡面与水平面的夹角叫做______．坡度与坡角α的关系是i＝hl＝tanα，显然坡度越大，坡角就越大，坡面就越____．图18－72.坡度和坡角记作i坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的_____，3．方位角北偏东30°南偏东50°南偏西45°第18课时锐角三角函数及其应用(1)指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角．(2)方位角的识别，关键是看该角由哪个主方向向次方向偏离，偏离多少度，则读作主方向偏离次方向多少度．如图18－8，由北向东偏30°读作__________，由南向东偏50°读作________，西南方向是指________．图18－8中考探究探究一锐角三角函数的定义及简单应用例1(1)[2014·广东]在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35，则cosB的值是()A.45B.35C.34D.43B第18课时锐角三角函数及其应用[解析]由题意，设BC＝3x，则AB＝5x，∴cosB＝BCAB＝35.(2)[2014·赣州模拟]如图18－9所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为()A．4B．25C.18213D.121313图18－9A第18课时锐角三角函数及其应用[解析]因为cosB＝BCAB，所以23＝BC6，所以BC＝4.探究二特殊角的三角函数值例2[2014·北京]计算：(6－π)0＋－15－1－3tan30°＋－3[解析]根据题干逐步计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的加减即可．原式＝第18课时锐角三角函数及其应用解：1－5－3×33＋3＝－4.与特殊角的三角函数值有关的问题主要有两种情形：第18课时锐角三角函数及其应用(1)已知特殊角，求三角函数值；(2)已知三角函数值，求这个角的度数．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．第18课时锐角三角函数及其应用变式题[2013·邵阳]在△ABC中，若sinA－12＋cosB－122＝0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°D探究三解直角三角形例3[2014·抚州样卷]如图18－10所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)图18－10[解析]∵△BDC是等腰直角三角形，第18课时锐角三角函数及其应用∴BC＝BD，在Rt△ABC中，AB＝4＋BC，∠A＝30°，∴利用tanA可以构造一个关于BC的方程，然后解方程即可求出BC的长．解：设BC＝x，第18课时锐角三角函数及其应用图18－10在Rt△BCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝45°，∴BD＝BC＝x.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AB＝4＋x，∴tanA＝BCAB，解得x＝23＋2.即33＝x4＋x，∴BC的长为23＋2.求一般三角形边的长度，可以通过作高，转化为直角三角形解答．第18课时锐角三角函数及其应用在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素(至少有一条边)，可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两锐角互余的关系，求出所有未知的边或角．锐角三角函数表示的是直角三角形中边、角之间的关系.边角之间可以相互转化：∴a＝c·sinA，∵cosA＝bc，∵tanA＝ab，∵sinA＝ac，c＝asinA.∴b＝c·cosA，c＝bcosA.∴a＝btanA，b＝atanA.变式题[2013·重庆]如图18－11，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足为点D，CD＝1，则AB的长为()A．2B．23C.33＋1D.3＋1图18－11D第18课时锐角三角函数及其应用探究四解直角三角形的实际应用例4[2014·河南]在中俄“海上联合—2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7)图18－12第18课时锐角三角函数及其应用解：如图所示，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度．根据题意得∠ACD＝30°，∠BCD＝68°.设AD＝x，则BD＝BA＋AD＝1000＋x.在Rt△ACD中，CD＝ADtan∠ACD＝xtan30°＝3x.在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°，即1000＋x＝3x·tan68°.∴x＝10003tan68°－1≈10001.7×2.5－1≈308.∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米．第18课时锐角三角函数及其应用在测量高度、宽度、距离等实际问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的基本图形有如下几种：第18课时锐角三角函数及其应用②同一地点看不同点(如图18－14)；图18－14图18－15第18课时锐角三角函数及其应用①不同地点看同一点(如图18－13)；③利用反射构造相似(如图18－15)；图18－13常见的基本图形有如下几种：④堤坝问题(如图18－16)．图18－16第18课时锐角三角函数及其应用变式题[2014•山西]如图18－17，点A，B，C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆，已知A，B，C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米，310米，710米，钢缆AB的坡度i1＝1∶2，钢缆BC的坡度i2＝1∶1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)第18课时锐角三角函数及其应用解：如图，过点A作AE⊥CC′于点E，交BB′于点F，过点B作BD⊥CC′于点D.则△AFB，△BDC和△AEC都是直角三角形，四边形AA′B′F，BB′C′D和BFED都是矩形，∴BF＝BB′－FB′＝BB′－AA′＝310－110＝200(米)，CD＝CC′－DC′＝CC′－BB′＝710－310＝400(米)．∵i1＝1∶2，i2＝1∶1，∴AF＝2BF＝400米，BD＝CD＝400米．又∵FE＝BD＝400米，DE＝BF＝200米，第18课时锐角三角函数及其应用∴AE＝AF＋FE＝800米，CE＝CD＋DE＝600米．在Rt△AEC中，AC＝AE2＋CE2＝8002＋6002＝1000(米)．答：钢缆AC的长度为1000米．