2-信号噪声分析

2011/12/31通信系统原理郭宇春郑宏云1通信系统原理北京交通大学电子信息工程学院通信工程教研室郭宇春郑宏云Chap2信号与噪声分析1.确知信号分析2.随机信号分析3.噪声分析2.1确知信号分析信号类型信号的频谱表示傅里叶级数傅氏变换常用信号及其傅氏变换傅氏变换重要性质卷积和相关能量谱、功率谱及帕氏定理确知信号通过线性时不变系统傅里叶级数周期信号()()123ftftnTn=±=00001001()[cos()sin()]2cos()2nnnnnnjntnnaftantbntccntVeωωωωϕ∞=∞=∞=−∞=++=+−=∑∑∑/20/22()cos()TnTaftntdtTω−=∫/20/22()sin()TnTbftntdtTω−=∫22nnncab=+arctan(/)nnnbaϕ=−0/2/21()TjntnTVftedtTω−−=∫（图）5例：周期信号f(t)在一个周期内的波形1tTf(t)0−=TtTTttf21201)(++==∑∞=tttnbtfnn11113sin34sin4sin)(ωπωπωQ1:傅里叶级数的物理含义是什么？Q2:引入傅氏分析的意义/目的是什么？∑∞=++=100)cos(2)(nnntnCctfϕωTπω21=6∑∞=++=100)cos(2)(nnntnCctfϕω其中：Cn代表n次谐波的振幅，称幅度频谱。ϕn代表n次谐波的初相位，称相位频谱。周期信号的各次谐波的分布图表征了信号的谐波组成情况，称为信号的频谱。它是信号频域表示的一种方法7例：周期矩形脉冲信号−−−=2222022)(TtandtTtEtfττττEf(t)2τ2TTt2T−)2(11221τωτττωnSaTEdtEeTctjnn==∫−−∑∞−∞==ntjnenSaTEtf1)2()(1ωτωτω1=2π/TSa(x)=sin(x)/x∑∞=+=111cos)2(2)(ntnnSaTETEtfωτωττ8将各谐波分量的幅度和相位用垂直线段在频率轴的相应位置上标出，即信号的频谱图。ϕnω0τπ2τπ4π=+⋅⋅=其他）（0,...5,3,1,122kkknτπωτππϕ)2(1τωτnSaTECn=Cnω01ωτπ2τπ4TEτ1ωωn=9将幅频和相频合画在同一幅图中1()()()22nnEEcSaSaXTTωτττωτω===ω01ωτπ2τπ4TEττπ2−)(ωX∑∞−∞==ntjnenSaTEtf1)2()(1ωτωτ为实数）)((ωX傅里叶变换非周期信号的时/频域转换举例-()()()()2jtjtFftedtdftFeωωωωωπ∞−∞∞−∞==∫∫()()ftFω↔11例：矩形脉冲信号=0)(Etf2τt2τt)(tft2τ2τ−E[])2(2sin2)()(222222|ωττωτωωωωττττττωωωωωSaEEeejEejEdtEedtetfFjjtjtjtj==−=−===−−−−−∞∞−−∫∫12矩形脉冲的频谱)()()(ωϕωωjeFF=)(ωFωτEτπ2τπ2−与周期矩形脉冲比较ω01ωτπ2τπ4TEττπ2−)2()(ωττωSaEF=1、的值比F(ω)的值多乘了系数1/T2、式中为不连续的变量ω(即nω1),F(ω)为连续变量ω1、周期信号的频谱包络线与非周期信号的频谱函数曲线形状相同2、频谱都具有收敛性3、占有频带宽度为τπ2)(ωX)(ωX)(ωX)2()()(11τωτωωnSaTEnXX==傅里叶变换（2）互易特性教材p27例2-1常用傅氏变换对（1）冲激函数)(2)(ωπ−↔ftF)()(ttfδ=常用傅氏变换对：（2）周期单位冲激序列11()().jntTnnnttnTCeωδδ∞∞=−∞=−∞=−=∑∑121121111().TTjntnTCtedtTTωδ−−==∫∑∞−∞==ntjnTeTt111)(ωδ)(tTδ1Tt112()()nFnTπωδωω∞=−∞=−∑()Fω0ω1ω1ω−12ω12Tπ频率搬移性：时域内乘以相当于频域内搬移1jnteω1ω)]()([][sin)(000ωωδωωδπωω−−+==jtFTF)(0ωωπδ−0ω0ω−)(0ωωπδ+)(0ωωπδ−−ωω00)(ωF)(ωjF)(0ωωπδ+常用傅氏变换对：（3）三角函数)]()([][cos)(000ωωδωωδπωω−++==tFTF0ω0ω−卷积物理含义两个定律：如果卷积定律调制定律)()()()()()()()(12212121tftfdtffdftftftft∗=′′−′=−=∗∫∫∞∞−−=′∞∞−ττττττττ)()()()(2211ωωFtfFtf↔↔)()()()(2121ωωFFtftf↔∗)()(21)()(2121ωωπFFtftf∗↔举例相关能量信号的相关自相关互相关功率信号的相关相关的物理含义例：∫∞∞−+=dttftfRf)()()(ττ∫∞∞−+=dttftfR)()()(2112ττ18例：矩形信号的自相关函数112()012tftt≤=τO)(τR11−1t21−O()ft121≤−=1011)(ττττRsquarewave例：周期矩形信号的自相关函数112()012tftt≤=τO)(τR1/21−1t21−O()ft1211/21()01Rττττ−≤=squarewave一个周期内的时间表达式19相关的物理含义20能量信号的相关定理——维纳-辛钦定理j()jjj2j()()()d1()()edd21()()eded21()()ed21()ed2ttRftfttftFtFfttFFFωτωωτωτωτττωωπωωπωωωπωωπ∞−∞∞∞+−∞−∞∞∞−∞−∞∞−∞∞−∞=+===−=∫∫∫∫∫∫∫2()()RFτω↔21功率信号的相关定理——维纳-辛钦定理2221()lim()()d1lim()()d()lim()()limTTTTTTTTTTRftfttTftfttTRTFRTττττωτ−→∞∞−∞→∞→∞→∞=+=+=↔∫∫能量谱、功率谱能量谱：信号能量在频域的分布功率谱：信号功率在频域的分布与自相关函数的关系2)()(ωωFEf=TFSTTf2)(lim)(ωω∞→=()()()()ffffRERSτωτω↔↔2j1()()()d()ed2RftfttFωτττωωπ∞∞−∞−∞=+=∫∫22()1()lim()()dlimTTTTTRRftfttTTτττ−→∞→∞=+=∫221(0)()d()d2RfttFωωπ∞∞−∞−∞==∫∫帕氏定理∫∫∞∞−∞∞−===ωωπdFRdttfEff22)(21)0()(时域(t)自相关域(τ)频域(ω)∫∫∞∞−−∞→===ωωπdSRdttfTPffTTTf)(21)0()(1lim2/2/2信号在时域和频域计算的能量或功率是相等的24计算矩形信号的自相关函数，能量谱密度，能量002()02AtTfttT≤=τO)(τR20AT0Tt02T−O()ftA02T20000(1)()0ATTTRTττττ−≤=squarewave例题00()()2TFATSaωω=0T−从定义求能量谱从自相关函数求222200()()()2fTEFATSaωωω==2000222200000(1)()(/)()20ATTTTRATtriTATSaTττωτττ−≤==↔图确知信号通过线性时不变系统)(th)(ωH)(tf)()()(thtftg∗=)(ωF)()()(ωωωHFG=?)(=τgR?)(=ωgE?)(=ωgS2)()()(ωωωHEEfg⋅=)()()(τττhfgRRR∗=2)()()(ωωωHSSfg⋅=2)(ωH称为系统功率传递函数希尔伯特变换同一个域中进行的一种特殊的正交变换负频域全部频率成分相移+π/2，正频域所有频率成分相移-π/2应用于窄带噪声统计分析以及线性调制生成单边带信号的过程中)sgn()(ωωjHh−=tthhπ1)(=(chap3)2.2随机信号分析概率与随机变量随机过程定义，与随机变量的关系平稳随机过程数字特征遍历性传输特性概率与随机变量概率空间，随机事件，样本，概率全概公式，逆概公式(例)随机变量概率分布，概率密度数字特征随机变量函数的分布高斯分布二维随机变量统计特征统计独立、不相关、正交例:书例2-2Q1:收端收到“0”或“1”的概率？Q2:收端正确接收或接收出错的概率？发端收端A0A1P(B0/A0)=5/6P(B1/A1)=3/4P(B1/A0)=1/6P(B0/A1)=1/4B0B1P(A0)=1/2P(A1)=1/2随机变量的统计特征概率分布函数(cdf)和概率密度函数(pdf)数字特征均值均方值方差关系)()(xXPxFX≤=dxxdFxpXX)()(=∫∞∞−==dxxxpXEmXX)(][∫∞∞−==dxxpxXEXX)(][222∫∞∞−−=−==dxxpmxmXEXDXXXX)()(])[(][222σ222XXmX+=σ常用一维随机变量均匀分布区间[-a,a]上的均匀分布随机变量的概率密度函数高斯（正态）分布归一化高斯分布概率积分函数误差函数与互补误差函数axp21)(=),(2XXmNσ]2)(exp[21)(22XXXXmxxpσσπ−−=二维随机变量的统计特征联合概率密度和分布函数统计特征互相关协方差互相关系数关系(,){;}(,)yxFxyPXxYypxydxdy−∞−∞=≤≤=∫∫2(,)(,)Fxypxyxy∂=∂∂(,)[](,)RxyEXYxypxydxdy∞∞−∞−∞==∫∫(,)[()()]()()(,)XYXYCxyEXmYmxmympxydxdy∞∞−∞−∞=−−=−−∫∫(,)(,)XYCxyxyρσσ=(,)(,)XYRxyCxymm=+2011/12/31通信系统原理郭宇春郑宏云34例题随机变量X与Y，具有联合高斯分布特征，且已知mX=1，mY=2，协方差矩阵为(1)计算X与Y的互相关系数(2)如果Z=2X+Y，W=X-2Y，求Z与W的协方差(3)计算随机变量Z的概率密度p(z)−−==9444YYXXYXCCCCC统计独立、不相关和正交统计独立不相关正交(,)()()pxypxpy=0XYρ=0XYC=XYXYRmm=或或不相关且0XYmm=例题随机变量X在-1≤x≤1范围内均匀分布，设Y=X2，这表明X与Y不统计独立。试分析X与Y是否相关。随机过程定义，与随机变量的关系平稳随机过程数字特征遍历性传输特性2011/12/31通信系统原理郭宇春郑宏云38投掷硬币结果（正面1，反面-1）+10-1+10-1+10-1ttt。。。2011/12/3139同条件电阻上的噪声电压tttX1(t)X2(t)XN(t)。。。例2011/12/3140t1t2tNtEX(ω,t)X(t1)X(tN)Xi(t)Xj(t)随机过程X(t2)样本函数的集合随机变量的时间延展……随机过程定义1.随机变量时间延展2.样本函数集合2011/12/3142t1t2tNtEX(ω,t)X(t1)X(tN)平稳随机过程X(t2)t1+∆t2+∆tN+∆X(t1+∆)X(t2+∆)X(tN+∆)狭义平稳、广义平稳随机过程X(t)的统计特征与时间原点无关狭义平稳（严平稳）广义平稳（宽平稳）一维平稳二维平稳随机过程的统计特征一维：均值、均方值、方差（图）关系：一维平稳：一维统计特征与时间无关二维：自相关、自协方差、自相关系数关系二维平稳：二维统计特征都是时间差τ的函数)()()(222tmttXXX+=σ统计平均功率交流功率直