42概率论与数理统计公式及习题答案

第一章P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)特别地，当A、B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp(θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义E(a)=a，其中a为常数E(a+bX)=a+bE(X)，其中a、b为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y为任意随机变量随机变量g(X)的数学期望常用公式)()()|(BPABPBAP)|()()(BAPBPABP)|()(ABPAPnkkkBAPBPAP1)|()()(nkkkiikBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(nkppCkXPknkkn，,...)1,0(!)(kekkXPk，1)(dxxf)(bXaPbadxxfbXaP)()()0(1)(/xexfxxkkXPxXPxF)()()(xdttfxXPxF)()()(xdttfxXPxF)()()(),(yxf),(yxF0),(yxf1),(dxdyyxf1),(0yxF},{),(yYxXPyxFdyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(}{}{},{jYPiXPjYiXP)()(),(yfxfyxfYXkkkPxXE)(dxxfxXE)()(kkkpxgXgE)())((ijijipxXE)(dxdyyxxfXE),()()(1)(bxaabxf)()('xfxF方差定义式常用计算式常用公式当X、Y相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a、b为常数当X、Y相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数协方差的性质独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章正态分布标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算公式)()()(aaZPaZP)(1)()(aaZPaZP)()()(abbZaP1)(2)()()(aaaaZaP一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章卡方分布t分布F分布正态总体条件下样本均值的分布：样本方差的)()()(YEXEYXEijijjipyxXYE)(dxdyyxxyfXYE),()()()()(,YEXEXYEYX独立时与当dxxfXExXD)()()(222)()()(XEXEXD))}())(({(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD)()()(YDXDYXD)()()(),(YEXEXYEYXCov)()(),(YDXDYXCovXY)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE)()()(),(22XDXEXEXXCov),(),(YXabCovbYaXCov),(),(),(ZYCovZXCovZYXCov),(~2NX222)(21)(xexf2)(,)(XDXE)(1)(aa)1,0(~),(~2NXZNX)()()(aaXPaXP)(1)()(aaXPaXP)()()(abbXaP)(~)1,0(~212nXNXnii，则若)(~1),,(~21222nYNYnii则若),(~//),(~),(~21212212nnFnVnUnVnU则若),(~2nNX)1,0(~/NnX则若),(~),1,0(~2nYNX)(~/ntnYX分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤①根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1②根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值③看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第1类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第2类(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形——Z检验正态总体小样本、方差已知——Z检验正态总体小样本、方差未知——t检验单正态总体方差的检验正态总体、均值未知——卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式双边检验左边检验右边检验单正态总体均值的Z检验拒绝域的代数表示双边检验左边检验右边检验比例——特殊的均值的Z检验)1(~)1(222nSn)1(~/ntnsX)1,1(~//2122212221nnFSS);(1inixfL);(1inixpLnzx2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—代替准差通常未知，可用样本标标准差—样本均值—2/)50()(znnsxnppzp)1(2/正态分布的分位点—大样本要求样本容量—样本比例—2/)50(znnp已知准差小样本、正态总体、标nzx2/未知准差小样本、正态总体、标nsntx)1(2/分布的分位点的自由度为—tnnt1)1(2/22/1222/2)1()1(,SnSn卡方分布的分位点—样本方差—22/2S2221212/21nnzxx)1,1(/,)1,1(/212/2221212/2221nnFSSnnFSS0100::)1(HH0100::)2(HH0100::)3(HHnXZ/0代替）未知时用（大样本情形S2/ZZZZnppppZ/)1(000—样本比例——总体比例—pp0ZZ单正态总体均值的t检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域双边检验左边检验右边检验1概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）ABC（2）ABC（3）ABC（4）A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC（5）ABC=A∪B∪C（6）ABC（7）ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C（8）AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P（A−B）=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1−P（AB）=1−[P（A）−P（A−B）]=1−[0.7−0.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P（B）=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）−P（AB）−P（BC）−P（AC）+P（ABC）=1nSXt/02022)1(Sn22/1222/2或22/1222/24+14+13−112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率2是多少？【解】p=5332131313131352CCCC/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1）设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故P（A1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同）（2）设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P（A2）=5567=（67）5（3）设A3={五个人的生日不都在星期日}P（A3）=1−P（A1）=1−（17）59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（nN）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：（1）n件是同时取出的；（2）n件是无放回逐件取出的；（3）n件是有放回逐件取出的.【解】（1）P（A）=CmCnm/CnMNMN−−（2）由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PnN种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有PmM种，从N−M件次品中取n−m件的排列数为PnmNM−−种，故P（A）=CPPPmmnmnMNMnN−−由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P（A）=CCCmnmMNMnN−−可以看出，用第二种方法简便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n次抽取中有m次为正品的组合数为Cmn种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n−m次取得次品，每次都有N−M种取法，共有（N−M）n−m种取法，故3()Cmm()nm/nnPA=MN−M−N此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m件正品的概率为()C1mnmmnPAMMNN−=⎛⎞⎛−⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠11.略.见教材习题参考答案.12.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？【解】设A={发生一个部件强度太弱}13310350()CC/C11960PA==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.【解】设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.213434233377()CC18,()C4C35C35PA==PA==故2323()()()2235PA∪A=PA+PA=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰有一粒发芽的概率.【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）（1）1212P(AA)=P(A)P(A)=0.7×0.8=0.56（2）12P(A∪A)=0.7+0.8−0.7×0.8=0.94（3）1212