西南大学2004研究生实变函数复试题

2004年硕士研究生入学考试复试（笔试）《实变函数论》试题一、叙述下列概念的定义（20分）1．可数集合；不可数集合2．开集；闭集3．Ｌ外测度；Ｌ可测集4．可测函数5．函数的Ｌ积分（假定已定义测度有限的可测集上的有界函数的Ｌ积分）二、（10分）证明开集减闭集后的差集仍是开集；闭集减开集后的差集是闭集。三、（10分）证明：)(xf是E上的可测函数的充要条件是：对任一有理数r,集)(rfE恒可测。四、（15分）设在E上)(xffn，且)()(1xfxfnn几乎处处成立，,2,1n，则几乎处处有)(xfn收敛于)(xf。五、（15分）对于实数A，用][A表示不超过A的最大整数，设)(xf在有限区间],[ba上可积，证明babandxxfdxxnfn)()]([1lim（)]([xnf的可测性不必证明）。六、（15分）设)(xfn是E上可积函数，)(xfn几乎处处收敛于)(xf，且KdmxfEn|)(|（K为常数），则)(xf可积。七、（15分）设0)(xf为可测函数，令nxfnxfxfxfn)(0)()()}({则当)(xf几乎处处有限时，有EEnndmxfdmxf)()}({lim。