2018高中数学竞赛试题

试卷第1页，总2页2018年全国高中数学联赛浙江省预赛1．已知a为正实数，且11()1xfxaa是奇函数，则()fx的值域为________.2．设数列na满足11a，151nnaa(n=1，2，…），则20181nna________.3．已知3,,4，4cos5，12sin413，则cos4________.4．在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.5．已知虚数z满足310z，则20182018111zzz________.6．设10AB.若平面上点P满足，对于任意tR,有3APtAB，则PAPB的最小值为________，此时PAPB________.7．在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________.8．设()12fxxxx，则()10ffx有________个不同的解.9．设xyR，满足64120xyxy，则x的取值范围为________.10．四面体P-ABC，6PABC,8PBAC，10PCAB,则该四面体外接球的半径为________.11．已知动直线l与圆O：221xy相切，与椭圆2219xy相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.12．设aR，且对任意实数b均有2[0,1]max1xxaxb，求a的取值范围.13．设实数x1，x2，…，x2018满足212nnnxxx(n=1，2，…，2016)和201811nnx，证明：100910101xx.14．将2n(2n)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：111ijjijiinijnjnabaabbn。试卷第2页，总2页15．如图所示将同心圆环均匀分成n(3n)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字1~n填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？答案第1页，总6页参考答案1．1122，【解析】由fx为奇函数可知111111xxaaaa，解得a=2，即11221xfx，由此得fx的值域为1122，.2．2019580771616【解析】由1111515154444nnnnnnaaaaa，所以201920181220182018112018520185807755551441641616nna.3．5665【解析】【详解】由3,,4，4cos5，得3sin5，5cos413，所以56coscoscossinsin44465.故答案为：56654．36【解析】在7，11，13中任取一个整数与在2，4，6，8，12中任取一个整数构成既约分数，共有1135230CC种；在7，11，13中任取两个整数也构成既约分数，共有236A中.合计有36种不同的既约分数.5．1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第2页，总6页【解析】3221011010zzzzzz，所以67232201820182018220181345231111111zzzzzzzzzzz.6．166【解析】由3APtAB可知点P到直线AB的距离为3.设AB的中点为O.由极化恒等式得：22221112103610016444PAPBPAPBPAPBPO.此时6PAPB.7．3249【解析】由4974ABACABAC,又132sin4sin249ABACAA,72ABAC时取等号.8．3【解析】因为3111012310232xxxxfxxxxxxxx，，，，由10ffx得到2fx，或0fx.由2fx，得一个解1x；由0fx得两个解3x，13x，共3个解.9．1421314213x【解析】由2264120231xyxyxyy.令2cosxy，答案第3页，总6页2223sin2cos3sin1452sinsin13yx，所以1421314213x.10．3【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则222222222108126abbcabcac，所以四面体外接球的半径为3.11．43【解析】依題意可设l：0ykxmk.因为直线l与圆O相切，所以，O到直线l的距离为1，即211mk这样的直线必与椭圆交于不同的两点11Axy，，22Bxy，，联立22990ykxmxy，，得2221918990kxkmxm,得到1221819kmxxk.所以AB的中点坐标为2291919kmmkk，AB的中垂线方程为22191919mkmyxkkk，化简得28019kmxkyk，O到直线中垂线的距离228191kmkdk.将2=11mk代入228191kmkdk得281kdk，由均值不等式，2196kk，故43d，当且仅当13k时取等号.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第4页，总6页所以，当13k，103m时，原点到AB的中垂线的最大距离为43.12．3a【解析】解1：2fxxaxb，对于101bf，所以只要考虑1b.（1）当02a时，即0a，此时函数fx的最值在拋物线的左右端点取得，对任意1b有110fabfb，所以111fab，解得1a（2）当1022a时，即10a，此时函数fx的最值在拋物线的顶点和右端点取得，而对b=0有111fa，2124aaf.（3）当1122a时，即21a时，此时函数fx的最值在拋物线的顶点和左端点取得，而对b=0有01fb，2124aaf.（4）当12a时，即2a，此时函数fx的最值在拋物线的左右端点取得，对任意1b有01fb，所以111fab,解得3a.综上或3a.解2：设2[0,1]max1xxaxb，则有mb，1211mabmbaba依题意，1112aa，或3a.13．【解析】证明：由条件2nnxx，同号.反证法，假设100910101xx.答案第5页，总6页（1）若10091010xx，同为正数，由2nnxx，同号可知x1，x2，…，x2018同号.由212100910101011121100810091010nnnnnnnxxxxxxxxxxxxx1009101010111008101110081xxxxxx同理100910091008101110121012100710121007100810071010101110101xxxxxxxxxxxxxx.类似可证明：100610131xx，100510141xx，…，120181xx.因此201811nnx，矛盾.（2）若10091010xx，同为负数，由2nnxx，同号可知x1，x2，…，x2018均为负数，仍然有212121nnnnnnnxxxxxxx,类似（1）可证得.14．【解析】证明：令111nijjijiinijnjnTabaabb，下面用归纳法证明nTn.当n=2时，不妨设a1a2，b1b2，a2b2.2212211122121Tbabababaaabb，当112111212++2abTbabbba；1122211++2abTbaab.假设对正整数n成立，对正整数n+1，不妨设121naaa，121nbbb，11nnab.再设11knkbab，则有:1111111nnnnnininiiiiTbabbaa1111nninnnibbbaT本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。答案第6页，总6页下证111111110nnnnninininiiiiibabbaabb.由（1）11knkbab(k=1，2，…，n)，得到:111111111120nnnnnninininiiniiiiikbabbaabbba（2）若11nab，则11111111110nnnnnninininiiniiiiibabbaabbba.15．【解析】设对应于内环1，2，…，n的外环数字为i1，i2，…，in，它是数字1，2，…，n的一个排列.对k=1，2，…，n，记外环数字ik在按顺时针方向转动jk格时，和内环数字相同，即modkkikjn,k=1，2，…，n.根据题意，j1，j2，…，jn应是0，1，2，…，n-1的排列.求和111mod0121mod1mod2nnkkkkikjnnnnnn.于是n必须是奇数.对于奇数n，我们取in=n，im=n-m，(m=1，2，…，n-1)，可以验证modkkikjnjn=0,jn-1=2，jn-2=4，…，121nnjn，j1=n-2,jn-1=n-4，j3=n-6，…，121nj，符合题目要求.