等腰三角形复习2

等腰三角形复习等腰三角形的性质与判定1.性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2.判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。推论1三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半•等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数，求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）（2）证明线段或角相等•以等腰三角形为条件时的常用辅助线:•如图：若AB=AC•①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC•②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC•③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC，BD=DC•作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.ABCD122.若等腰三角形的一个内角是45°,则它的顶角为90°()1.若等腰三角形两条边的长分别是5和8,则它的周长为.21或18总结:在解等腰三角形的题目时,经常会运用分类思想讨论,以防止掉入数学“陷阱”!1、如果等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为。2、如图，在三角形ABC中，BC=10，AD=BD，若三角形ACD的周长为18，则AC长为。ABCDABCED例1：已知，如图等边△AEB与等边△BCD在线段AC的同侧求证：△ABD≌△EBCABCDE想一想：你还能写出哪些结论例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。•证明：∵AB=AC•∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）•∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E•∴∠BEC=∠CDB=90°•∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）•∴∠1=∠2（等角的余角相等）•∴BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例3已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.求证：AC=BD.证明：∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BDABCD例4.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度数.•分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x，∠EBD=y，∠C=z∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90°∵AD=DE∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）∴解得x=45°即：∠A=45°ABCDExyzxyz例5.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.•分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形ABCDEM例6.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：△DEF也是等边三角形.•证明：∵△ABC是等边三角形•∴AC=BC，∠A=∠C•∵CE=BD•∴BC－BD=AC－CE•∴CD=AE•在△AEF和△CDE中•∴△AEF≌△CDE（SAS）•∴EF=DE•同理可证EF=DF•∴EF=DE=DF•∴△DEF是等边三角形ABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。例7如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G求证：DG=EG•思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。证明：过D作DH∥AE，交BC于H∴∵AB=AC∴∴∴DB=DH又∵DB=CE∴DH=CE又∵∴∴DG=EG.说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。例8如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP=2PQ•思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。1.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。2.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角度数为_____________。3.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为__________，底角为___________。4.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为_____________。5.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E，交AB于D，连结BE，若∠A=50°，∠EBC=__________。6.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的周长为50，△ABD的周长为40，则AD=____________。7.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹角为_____________。练习8.已知两边及其一边上的高，求作三角形。9.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。ABCDEBCABCAED在等腰直角三角形中,折出∠CAB的平分线AE,交BC边于点E.C点在AB边上的落点为D,连结DE.2.若CE=1,则DE=_____.3.你还能找出哪些相等的线段吗?4.若AB=6,则△DEB的周长等于多少?1.DE⊥AB吗?11DB=______.即：CE=DE=DBAD=AC=BCCABOCAEFOB等腰直角三角形ABC两底角的平分线AO与BO交于点O,过O点作底边AB的平行线交AC于点F,交BC于点E.则:3.若AC=10,则△CEF的周长为多少?2.AF、FE、EB三条线段的长度有何关系？1.图中有几个等腰三角形?AF+EB=FE相等角之间的转化相等线段之间的转化CAEFOB㈠ABCFEO（二）如图（二）当AC=12,BC=8.求△CFE的周长?解:因为OA平分∠CAB.所以∠FAO=∠OAB.又因为EF∥AB.所以∠FOA=∠OAB.所以∠FAO=∠FOA即:AF=OF所以AC=AF+FC=OF+FC.同理可得:BC=BE+EC=OE+EC.所以△CFE的周长:=OF+FC+OE+EC=AC+BC=12+8=20如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能画多少个?ＯＤ150°ＣaＥＦＨ请把这个等腰三角形纸片折成两个等腰三角形！36°ABCBCAD36°ABC36°D请把这个三角形纸片折成两个等腰三角形！20°40°120°ABC20°40°120°CABD20°40°120°ABCD在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的其中两顶点构成等腰三角形！BAC50°110°20°1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°（分类讨论）