83专题反对称矩阵的性质及应用

专题:反对称矩阵的性质及其应用高等代数资源网声明您现在看到的这份文件来自本站原创的内容，采用创作共用组织（CreativeCommons）的“公共领域”（PublicDomain）许可。即放弃一切权利，全归公共领域。但涉及到其他版权人的摘录、转载、投稿、翻译等类内容不在此列。本文的内容仅供学习参考之用,作者不对内容的正确性作任何承诺,作者不对因使用本文而造成的一切后果承担任何责任.关于如何使用本文的建议:首先保证自己认真做了一遍题目,否则请不要查看本文.记住:别人做是别人的，自己做才是自己的.作者水平有限,错误不可避免,欢迎您来信指出:@163.com.休息一下，欣赏美图，马上开始。2反对称矩阵的定义定义2.1设A=(aij)是一个n阶方阵,若AT=A(aij=aji);则称A为反对称矩阵.1专题:反对称矩阵的性质及其应用反对称矩阵的性质利用反对称矩阵的定义,易得如下结果:例3.1设A;B为n阶反对称矩阵,k为常数,l为正整数,则(1)反对称矩阵主对角元全为0;(2)A+B;AB;kA;ABBA都是反对称矩阵;(3)AB为反对称矩阵的充要条件为AB=BA;(4)当l为奇数时,Al为反对称矩阵,当l为偶数时,Al为对称矩阵.例3.2设A为一n阶方阵,则(1)AAT必为反对称矩阵;(2)A可唯一表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和,即A=A+AT2+AAT2:例3.3设A是n阶反对称矩阵,则(1)当n为奇数时,jAj=0;(2)若A可逆,则n为偶数,且A1也是反对称矩阵.例3.4设A是n阶反对称矩阵,A为A的伴随矩阵,则当n为偶数时,A为反对称矩阵,当n为奇数时,A为对称矩阵.证明:利用(A)T=(AT);(kA)=kn1A可得.例3.5设A为n阶反对称矩阵,B为n阶对称矩阵,则AB+BA为n阶反对称矩阵.例3.6设A为n阶矩阵,则A为反对称矩阵的充要条件为对任意的n维列向量X有XTAX=0:证明:必要性.(法1)注意到A是反对称矩阵,则XTAX=XT(AT)X=(XTAX)T=XTAX;故XTAX=0:(法2)设A=0BBBBB@0a12a13


a1na120a23


a2na13a230


a3n...............a1na2na3n


01CCCCCA;X=0BBBBB@x1x2x3...xn1CCCCCA;则计算可得XTAX=0:◇※☆■◇◇※☆■◇2高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用充分性.(法1)由XTAX=0;等式两边取转置可得XTATX=0:于是XT(A+AT)X=0;由X的任意性可得A+AT=0;即A=AT:(法2)设A=(aij)nn;令X=ei+ej;其中ei表示第i个分量为1,其余分量为0的n维列向量,则0=XTAX=(ei+ej)TA(ei+ej)=bij+bji;i;j=1;2;


;n:从而结论成立.例3.7设A为n阶实可逆阵,S为n阶实反对称阵,求证jAAT+Sj0:证明:(法1)首先AAT为正定阵,若jAAT+Sj=0;则有非零向量使得(AAT+S)=0:于是0=T(AAT+S)=T(AAT)0矛盾.故jAAT+Sj̸=0:下证jAAT+Sj0:作[0;1]上的实连续函数:f(x)=jAAT+xSj由上面的证明可知,对8x2[0;1];都有f(x)=jAAT+xSj̸=0:而f(0)=jAATj0;若f(1)=jAAT+Sj0;则由连续函数的介值性知9x02(0;1)使得f(x0)=jAAT+x0Sj=0:矛盾.(法2)设为AAT+S的实特征值,为对应的实特征向量,即(AAT+S)=于是T=T(AAT+S)=T(AAT)由于A可逆,故AAT正定,从而0:而AAT+S的虚特征值成对按共轭出现,故jAAT+Sj0例3.8(上海交大03)设A为n阶反对称阵,B=diag(a1;a2;


;an);ai0:证明jA+Bj0:例3.9设A正定,B实反对称,则jA+Bj0:例3.10设A正定,B实反对称,则r(A+B)=n:◇※☆■◇◇※☆■◇3高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用证明:若r(A+B)n;则jA+Bj=0;于是存在x02Rn;x0̸=0使得(A+B)x0=0从而0=xT0(A+B)x0=xT0AX0这与A正定矛盾.例3.11(武汉大学2011)设A是n阶实矩阵,且8(̸=0)2Rn1;均有TA0:求证:detA0:例3.12(南开06竞赛)设A为n阶实方阵,且A+AT为正定阵,证明detA0:证明:(法1)由于A=12(A+AT)+12(AAT)而12(A+AT)为正定阵,12(AAT)为反对称阵.从而由(例3.7)的结论可得.(法2)由于A=B+C;B=A+AT2;C=AAT2首先,det(A)̸=0:否则,存在x̸=0使得Ax=0;于是0=xTAx=xT(B+C)x=xTBx+xTCx=XTBx0矛盾.下证det(A)0:否则jAj0,令f(t)=jB+tCj;则由上面的证明知f(t)̸=0;8t2[0;1]:但是在[0,1]上连续,且f(0)=jBj0;f(1)=jAj0由介值定理,存在t02[0;1]使得f(t0)=0:矛盾.从而结论成立.(法3)设2R为矩阵A的任一实特征值,2Rn为对应的特征向量,即A=从而TAT=T于是由A+AT正定有2T=T(A+AT)0即0:而A的虚特征值成对出现,且互为共轭,从而jAj0:例3.13设A为n阶实可逆反对称矩阵,b为n维实列向量,则(1)r(A+bbT)=n;(2)r(AbbT0)=n:◇※☆■◇◇※☆■◇4高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用证明:(1)由于jA+bbTj=jAj+bTAb;注意到A可逆,从而A也是反对称矩阵,故bTAb=0:于是jA+bbTj=jAj̸=0;从而结论成立.(2)注意到A1是反对称矩阵以及(E0bTA11)(AbbT0)(EA1b01)=(A00bTA1b)=(A000):即可.例3.14(苏州大学2011)设A是可逆的实对称n阶方阵，B是实反对称n阶方阵，且有AB=BA:求证：A+B可逆。证明:(法1)可知AAT正定,BBT=B2半正定,故AAT+BBT=A2B2正定.于是(A+B)(A+B)T=(A+B)(AB)=A2B2故结论成立.(法2)反证法.否则方程组(A+B)x=0有非零解.设为y:则由A可逆及AB=BA可得0=yT(A+B)T(A+B)y=yT(ATB)(A+B)y=yT(ATA+BTB)y0矛盾.(法3)反证法.否则方程组(A+B)x=0有非零解.设为y:则由A可逆有0=yTAT(A+B)y=yTATAy+yTATBy;而(yTATBy)T=yTBTAy=yTBAy=yTATBy;即yTATBy=0;从而0=yTATAY=(Ay)T(Ay);故Ay=0;有A可逆有y=0:矛盾.(法4)只需证明A1(A+B)=E+A1B可逆即可.由AB=BA有A1B=B1A;于是(AB)T=BT(AT)1=BA1=A1B;即A1B是实反对称矩阵,其特征值为0或纯虚数,从而E+A1B的特征值都不是0.结论成立.例3.15实反对称阵的特征值为零或纯虚数.◇※☆■◇◇※☆■◇5高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用为实反对称矩阵,则相应于A的纯虚数特征值的特征向量,其实部与虚部实向量的长度相等且相互正交.证明:设=X+Yi是A关于特征值=ki(k̸=0)的特征向量,即A(X+Yi)=ki(X+Yi)所以AX=kY;AY=kX于是0=XTAX=XT(kY)=kXTY从而X;Y正交.又k(XTXYTY)=XTAY+YTAX=XTAY(XTAY)T=0故X;Y的长度相等.例3.17(苏州大学02)设A为nn实反对称阵.证明:A2是半正定的.例3.18(东南大学00)设A为n阶正定矩阵,B为n阶实反对称阵,求证AB2为正定阵.注:特别,EA2正定.证明:(法1)首先(AB2)T=AT(B2)T=AB280̸=x2Rn;有xT(AB2)x=xTAx+xTBTBx=xTAx+(Bx)TBx0即结论成立.(法2)特征值的角度.例3.19(南开大学2011)设A为实反对称矩阵.证明:EA10一定是正定矩阵.注:更一般的结果为:设A为实反对称矩阵.证明:EA2(2k+1);(k=0;1;2;


)一定是正定矩阵.例3.20设A为实反对称阵,则(1)存在正交阵Q,使得QTA2Q=diag(a21;a21;


;a2r;a2r;0;


;0)(2)EA2可逆.◇※☆■◇◇※☆■◇6高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用证明:(1)由A的特征值为零或纯虚数,且非零特征值成对出现,设为a1i;a1i;


;ari;ari;0;


;0:而A2为实对称阵,且其特征值为a1;a1;


;ar;ar;0;


;0:故结论成立.(2)QT(EA2)Q=diag(1+a21;1+a21;


;1+a2r;1+a2r;1;


;1)例3.21设A为实反对称阵,证明(1)n为奇数时,jAj=0;n为偶数时,jAj为一个实数的平方.(2)A的秩为偶数.例3.22(中国地质03)设A为实反对称阵,试证A+E为非奇异阵.证明:(法一)若jA+Ej=0;则(A+E)x=0有非零解,设为x0;则0=xT0(A+E)x0=xT0x00矛盾.(法二)若jA+Ej=0;则jEAj=0:从而1为A的特征值,矛盾.例3.23设A为n阶实对称矩阵,若存在n阶矩阵B使得AB=B;则B=0:证明:由条件可得(AE)B=0只需证AE可逆,即证jAEj=0:由1不是A的特征值可得.例3.24(重庆大学06)设A为n阶反对称矩阵.(1)证明:1与1不是A的特征值;(2)令B=(EA)(E+A)1;证明:B是正交矩阵,且1不是B的特征值.证明:(1)略.(2)由(1)知EA;E+A都可逆,且(EA)T=E+A;(E+A)(EA)=(EA)(E+A);故BTB=[(EA)(E+A)1]T(EA)(E+A)1=[(E+A)1]T(EA)T(EA)(E+A)1=[(E+A)T]1(E+A)(EA)(E+A)1=(EA)1(EA)(E+A)(E+A)1=E:◇※☆■◇◇※☆■◇7高等代数资源网专题:反对称矩阵的性质及其应用=(EA)(E+A)1;有B(E+A)=EA;即B=EABA;于是E+B=2EABA=2E(E+B)A;也就是(E+B)(E+A)=2E:即E+B可逆,从而1不是B的特征值.注:事实上,由B=(EA)(E+A)1;有B(E+A)=EA;即B=EABA=E(E+B)A;故(E+B)A=EB;于是A=(E+B)1(EB):例3.25(浙江师范大学2011)设A是实反对称矩阵,证明:(1)A的特征值是零或纯虚数;(2)如果E+;EA都是非退化的,则(EA)(E+A)1是正交矩阵,且不以1为特征值;(3)证明E+;EA都是非退化的.例3.26A;B为n阶实方阵,