2010年湖北黄冈中学高三数学《专题九 空间直线与平面位置关系的判断与证明》

空间直线与平面位置关系的判断与证明2010年湖北黄冈中学第一课时：基本问题第一课时：基本问题[课前导引]第一课时：基本问题[课前导引]1.用一个平面去截一个正方形得到的多边形，可以是__________(将可能的序号都填上，其中：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形；⑤七边形)[简评]本问题涉及到直线与平面位置关系的判定与性质,学生应能根据所学立体几何知识熟练画出正方体的各种截面，并能说清楚截面与正方体各表面的交线是如何画出的.[简评]本问题涉及到直线与平面位置关系的判定与性质,学生应能根据所学立体几何知识熟练画出正方体的各种截面，并能说清楚截面与正方体各表面的交线是如何画出的.答案：①②③④2.一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不能确定2.一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不能确定[简评]要多从运动的角度来研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的空间形象.2.一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面角()A.相等B.互补C.相等或互补D.大小关系不能确定[简评]要多从运动的角度来研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的空间形象.D[考点搜索][考点搜索]1.画图是一个基本功.要能熟练画出水平放置的平面图形的直观图，画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系.2.熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直的各种判定方法以及性质.3.会用反证法证明简单的问题.4.能够有选择地使用向量方法和非向量方法解决空间直线与平面位置关系的问题.[链接高考][链接高考])(,2,',,''''',''')2007(为则平行条棱与平面得该棱柱恰有使中取一点作为、、、从心的重为的中点、、、分别为、、、点中在三棱柱年湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECBAABC[例1]'D.C.B.A.BGHK[链接高考])(,2,',,''''',''')为则平行条棱与平面得该棱柱恰有使中取一点作为、、、从心的重为的中点、、、分别为、、、点中在三棱柱湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECBAABC[例1]'D.C.B.A.BGHKC所成角的大小；与平面求直线时当；平面求证：底面的中点、别是分、点中在三棱锥如图浙江卷PBCPAkPABODABCOPPCACDOkPABCABABCP,21)2(//)1(.,,,,)([例2]的重心？的射影恰好为内在平面取何值时当PBCPBCOk,)3(.//(1)可得由PAOD的重心？的射影恰好为内在平面取何值时当PBCPBCOk,)3([法一].//(1)可得由PAOD的重心？的射影恰好为内在平面取何值时当PBCPBCOk,)3([法一].,,,,,(2)所成的角平面与是则连结于作平面则连结中点取PBCODODFDFFPEOFPOEBCPEEBC.30210arcsin,30210sin,.,//成角为所与平面中在的大小等于所成角与平面又PBCPAODOFODFODFRtODFPBCPAPAOD,,,,,,.,:(2)(3)BDPCPCOBBDPBCOBDFBPBCFPCDPBCOFPBCOF内的射影为直线在平面直线三点共线、、则的重心是若的中点是内的射影在平面是平面知由.,,1,.1,的重心内的射影为在平面正三棱锥为三棱锥时当反之即PBCPBCOPBCOkkBCPB),0,0,22(),0,22,0(),0,0,22(,),(,,aCaBaAaABxyzOxOPO则设如图建立空间坐标系轴为非负射线为原点以[法二]).,0,0(,hPhOP则设.//,//,21),,0,22(),21,0,22((1)PABODPAODPAODhaPAhaOD平面又nPAnPAnPAnPBCaaPAahaPAk),cos(),71,1,1(),27,0,22(,27,2,21(2)向量的法可求得平面则.30210arcsin,30210),cos(sin,.30210所成的角为面与平则所成角为与平面设PBCPAnPAPBCPA),,22,0(,,),31,62,62(),31,62,62((3)haPBPBOCPBCOGhaaOGhaaGPBC又平面的重心..,1,.1,22,031612222的重心射影为内的为平面正三棱锥为三棱锥时当反之即PBCPBCOPBCOkkahOAPAahhaPBOC[方法论坛][方法论坛]1.如何证两条异面直线相互垂直：(1)证明两条异面直线所成角为90º；(2)证明两条异面直线的方向向量相互垂直.2.如何证直线和平面相互平行：(1)证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；(2)证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行,或者这条直线的方向向量可以用这个平面内的两个向量的线性组合来表示;(3)证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.3.如何证直线和平面垂直：(1)证明直线和平面内两条相交直线都垂直；(2)证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；(3)证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行.4.如何证平面和平面相互垂直：(1)证明这两个平面所成二面角的平面角为90º；(2)证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；(3)证明两个平面的法向量相互垂直.5.如何证平面和平面互相平行：(1)证明一个平面内两相交直线都与另一个平面平行；(2)证明两个平面的法向量互相平行.6.如何做关于空间线面位置关系的选择题：工具演示、空间想象、逻辑推理相结合.[长郡演练][长郡演练]1.下列命题正确的是()A.过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B.过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的C.过直线外一点作此直线的垂线是唯一的D.过平面的一条斜线作此平面垂面是唯一的[长郡演练]1.下列命题正确的是()A.过平面外一点作此平面的垂面是唯一的B.过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的C.过直线外一点作此直线的垂线是唯一的D.过平面的一条斜线作此平面垂面是唯一的D2.a,b异面,则过a与b垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在可能不存在C.有无数个D.一定不存在2.a,b异面,则过a与b垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在可能不存在C.有无数个D.一定不存在若存在,则必有a与b异面垂直,即若a与b不垂直则不存在过a与b垂直的平面.2.a,b异面,则过a与b垂直的平面()A.有且只有一个B.可能存在可能不存在C.有无数个D.一定不存在B若存在,则必有a与b异面垂直,即若a与b不垂直则不存在过a与b垂直的平面.第二课时：综合问题[课前导引]第二课时：综合问题[课前导引]第二课时：综合问题1.右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④[课前导引]第二课时：综合问题1.右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60°角④DM与BN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是()A.①②③B.②④C.③④D.②③④CPMNlPNMlNlPMlMNPNlPM2.下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）①⑤④②③[解析]这是2003年的一道高考题.我们可以先画出一个与l垂直的正六边形截面，然后检查过哪三点的截面就是这个截面；而对于其他情况，要么画出截面与正方体各表面的交线然后用三垂线定理判断，要么建立空间直角坐标系用向量法计算.[解析]这是2003年的一道高考题.我们可以先画出一个与l垂直的正六边形截面，然后检查过哪三点的截面就是这个截面；而对于其他情况，要么画出截面与正方体各表面的交线然后用三垂线定理判断，要么建立空间直角坐标系用向量法计算.答案:①④⑤[考点搜索][考点搜索]1.探索性问题是近年来高考立体几何题的热点题.通常要求考生探索在某平面或某直线上是否存在一点满足一定的条件.2.折叠问题经常在高考卷中出现.3.要求能够证明三点共线和三线共点问题.[链接高考][链接高考][例1](2006全国卷Ⅱ)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形[链接高考][例1](2005全国卷Ⅱ)正方体ABCD-A1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点.那么正方体的过P、Q、R的截面图形是()(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形D[例2](2007年湖南卷)如图,在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(I)证明PA⊥平面ABCD;(II)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小:(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面AEC?证明你的结论.,60ABC,2,aPDPBaACPA[法一](I)由PA⊥AB及PA⊥AD可得.(II)用三垂线法求得二面角=30°.(Ⅲ)证法一：先猜想F为棱PC中点时，有BF∥平面AEC，然后证明.可取PE中点M，连FM，则FM∥CE.设AC交BD于O，易证BM∥OE，于是平面BFM∥平面AEC，则得BF∥平面AEC.[法二]DECDADDPCDADCPBCBF23212121ACAEADAEACADAD21232321所以共面,则BF//平面AEC.ACAEBF,,[法三]以A为原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点且垂直于平面PAD的直线为x轴建立空间直角坐标系，写出各相关点坐标，然后设，写出向量的坐标..PCPFBF.//,,23,21,21,AECBFPCFyxAEyACxBF平面中点时为所以易得当可求得令[例3]（2006年全国高考题）如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD,(1)证明：C1C⊥BD；.?,)2(111出证明请给平面能使为多少时的值当BDCCACCCD第一类证法(非向量方法)：(1)证明：连结A1C1、AC和BD交于O，连结C1O.∵四边形ABCD是菱形，,,,,,111111111BDOCOBDODCBCDCCBCCCCCCDCCBCCCDBCBDAC又.,.,,11111BDCCACCCACBDOOCACBDAC平面又平面但(2).,1111BDCCACCCD平面能使时当.,,,.1:2:,1:2:,//...,,,11111111111111111111BDCCABDCCGBDCGBDBDCOCGOGCOCCAACCAGOCCABDCCDCBCBDCDCBCDCCCDBCCCCD平面即平面的中心正三角形是点边上的高和中线的形是正三角又且相交于与设是正三棱锥三棱锥由此可推出又.,.,,1.,,,)1(11111111111BDCCABBCBDCABCCABDCCCDCABDACCAACBC平面又可得的证法同六个面是全等的菱形平面六面体的时当平面平面知由[法二]第二类证法（向量法）本题的向量解法大体上有两类：法一：确定三个知其模及两夹角的向量为空间向量的一个基底.对于平行六面体来说，通常选择从同一顶点出发的三条棱表示的向量为