高中数学竞赛模拟试题二

12007年高中数学竞赛模拟试题二一、选择题：1.设a、b、c为实数，0,024cbacba，则下列四个结论中正确的是（D）（A）acb2（B）acb2（C）acb2且0a（D）acb2且0a提示：若0a,则0b,则02acb.若0a,则对于二次函数cbxaxxf2)(,由0)1(,0)2(ff可得结论.2.在△ABC中，若aBCABA,2,450，则2a是△ABC只有一解的（A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin42cos3(),1sin22cos,(xxbxxma,定义函数baxf)(.若对任意的]2,0[x，不等式0)(xf恒成立，则m的取值范围是（A）（A）),81(（B）)81,0[（C）)2,81(（D）),2(4.设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是（D）（A）36arcsin（B）33arccos2（C）2arctan2（D）22cotarc5.把数列}12{n依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（A）（A）1992（B）1990（C）1873（D）18916.设ninxi,,2,1},,,2,1{，满足2)1(1nnxnii，!21nxxxn，使1x，2x，…，nx一定是n,,2,1的一个排列的最大数n是（C）2（A）4（B）6（C）8（D）9二、填空题：7.若实数x、y满足条件122yx，则xyx212的取值范围是___________________.【答案】)2,2(.提示:令tan,secyx.8.对于给定的正整数4n，等式423nmCC成立，则所有的m一定形如_____________.（用n的组合数表示）【答案】21nCm(4n).提示:由423nmCC得222)13()12(nnm,从而21nCm(4n).9.一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数的数学期望E=_________________.【答案】3.0提示:取值为0,1,2,3，且有43)0(11219CCP，4492)1(2121913CCCP，22092)2(3121923CCCP，22012)3(4121933CCCP.3.022013220924491430E.10.设点F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以F1为顶点、以F2为焦点。设P点为椭圆与抛物线的一个交点。如果椭圆E的离心率e满足21PFePF，则e的值为_______.【答案】3311.已知0t,关于x的方程22xtx,则这个方程有相异实根的个数情况是_________________.【答案】0或2或3或4.提示：令221:,2:xtyCxyC，利用数形结合知：当210tt或时，方程无实数根；当1t时，方程有2个实数根；当2t时，方程有3个实数根；当21t时，方程有4个实数根。312.函数1)(2xxxf（1,xRx且）的单调递增区间是______________________.【答案】),2[],0,(.提示：11)1(2xxy（1x），利用典型函数来分析；本题也可直接依函数的单调性定义来分析。三、解答题：13.向量1OP、2OP、3OP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，试判断△P1P2P3的形状，并加以证明。解:∵0321OPOPOP，∴321OPOPOP，∴322322212OPOPOPOPOP.又∵1321OPOPOP，∴1232221OPOPOP，∴2132OPOP，∴21cos32OPP，在△P2OP3中，由余弦定理可求得332PP.同理可求得321PP，331PP.∴△P1P2P3为正三角形.14.设数列}{na满足1111naaann，（*Nn），求证：)11(211nankk.证明:由题意知.,0,2*2Nnaan当1n时,)12(2111a,命题成立；当2n时，由11naann，得naann1，∴1)(11nnnaaa，111nnnaaa，从而有)11(2222)(111121111naaaaaaaannnnnkkknkk.15.设函数xxxf31)(，其中.0（1）求的取值范围，使得函数)(xf在),0[上是单调递减函数；（2）此单调性能否扩展到整个定义域),(上？（3）求解不等式.12123xx解：（1）设210xx，4则].)1(11)1(1)[()()(32232313212121xxxxxxxfxf设3223231321)1(11)1(xxxxM，则显然3M.∵0)()(21xfxf,∴M1,∵311M,∴只需要31,就能使)(xf在),0[上是单调递减函数；（2）此单调性不能扩展到整个定义域上，这可由单调性定义说明之；（3）构造函数312)(xxxg，由（1）知当0x时，)(xg是单调递增函数。∵12)7(g，∴.12123xx)7()(gxg，∴7x，∴所求解集为)7,(.