数学分析求极限的方法

1求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim0xfxx和)(limxgxx都存在，则函数)(xf)(xg，)()(xgxf当0xx时也存在且①)()()()(limlimlim0.00xgxfxgxfxxxxx②)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx又若0)(lim0xgxx，则)()(xgxf在0xx时也存在，且有)()()()(limlimlim000xgxfxgxfxxxxxx利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例1：求2422limxxx解：原式=02222limlim22xxxxxx⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sinlim0xxx来求极限1sinlim0xxx的扩展形为：令0xg，当0xx或x时，则有1sinlim0xgxgxx或1sinlimxgxgx2例2：xxxsinlim解：令t=x.则sinx=sin(t)=sint,且当x时0t故1sinsinlimlim0ttxxtx例3：求11sin21limxxx解：原式=211sin1111sin122121limlimxxxxxxxxx②利用exx)11(lim来求极限exx)11(lim的另一种形式为e10)1(lim.事实上，令.1xx.0所以xxxe)11(lime10)1(lim例4:求xxx10)21(lim的极限解：原式=221210)21()21(limexxxxx利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。⒊利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即.1)()(lim0xgxfxx称)(xf与)(xg是0xx时的等价无穷小量，记作)(xf)(~xg.)(0xx.定理2②：设函数)(),(),(xhxgxf在)(00xu内有定义，且有)(xf)(~xg.)(0xx3①若,)()(lim0Axgxfxx则Axhxgxx)()(lim0②若,)()(lim0Bxfxhxx则Bxgxhxx)()(lim0证明：①AAxhxfxfxgxhxgxxxxxx1)()()()()()(limlimlim000②可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5：求30sinsintanlimxxxx的极限解：由).cos1(cossinsintanxxxxx而)0(,~sinxxx；,2~cos12xx（x0）；33sinxx3~x,（x0）.故有30sinsintanlimxxxx=lim0x212cos132xxxx注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量，如：由于1sinlim0xxx，故有xsin).0(,~xx又由于,1arctanlim0xxx故有arctanxx~，(x0).另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中，若因有tanxx~，);0(xxsinx~).0(,x而推出30sinsintanlimxxxx=0sin30limxxxx则得到的结果是错误的。⒋利迫敛性来求极限定理3③：设lim0xxf(x)=lim0xxg(x)=A,且在某),('0xuo内有f(x)h(x)g(x),则lim0xxh(x)=A4例6：求lim0xxx1的极限解：1xx11-x.且1)1(lim0xx由迫敛性知lim0xxx1=1做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。⒌利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数)(xf在0x点连续，则)()(0lim0xfxfxx及若axxx)(lim0且f(u)在点a连续，则)()(limlim00xfxfxxxx例7：求2arcsin2cos10limxxxe的极限解：由于lim0x41arcsin2cos12xx及函数4euf在41u处连续，故lim0x2arcsin2cos1xxe=20arcsin2cos1limxxxe=41e。⒍利用洛比达法则求函数的极限在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。我们把两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作00型或型的不定式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。下面就给出不定式极限的求法。(1)对于00型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限5定理4④：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=0。②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A。（A可为实数，也可为或）则lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A。注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了。例8：求limxxx2tancos1解：容易检验f(x)=1+xcos与g(x)=x2tan在0x的邻域里满足定理的条件①和②，又因limx)(')('xgxf=limxxxx2sectan2sin=-limx212cos3x故由洛比达法则求得，lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=21在此类题目中，如果lim0xx)(')('xgxf仍是00型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法则，即考察极限lim0xx)(')('xgxf是否存在。当然，这是)('xf和)('xg在0x的某邻域内必须满足上述定理的条件。例9：求)1ln()21(2210limxxexx解：利用)1ln(2x2~x（0x），则得原式=lim0x221)21(xxex=lim0xxxex2)21(21=lim0x1222)21(23xex在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可6用适当的代换，如下例，例10：求lim0xxex1解：这是00型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。如作适当的变换，计算上就会更方便些，故令,xt当0x时有0t，于是有lim0xxex1=111limlim00tttteet(2)型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5⑤：若函数f(x)和函数g(x)满足：①lim0xx)(xf=lim0xx)(xg=②在点0x的某空心邻域)(00xu内两者都可导，且0)('xg③lim0xx)(')('xgxf=A，（A可为实数，也可为或）。则lim0xx)()(xgxf=lim0xx)(')('xgxf=A。此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。例11：求xxxlnlim解：由定理4得，''ln(ln)l0()limlimlimxxxxxxxx注1：若lim0xx)(')('xgxf不存在，并不能说明lim0xx)()(xgxf不存在。注2：不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。下面这个简单的极限7limxxxxsin=1虽然是型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则：limxxxxsin=limx1cos1x就会因右式的极限不存在而推出原式的极限不存在这个错误的结论。(3)其它类型不定式极限不定式极限还有0，1，00，0，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为00型和型的不定式极限。例12：求lim0xxxln解：这是一个1型的不定式极限，作恒等变形xxln=xx1ln，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法则得到lim0xxxln=lim0xxx1ln=lim0x211xx=0)(lim0xx例13：求lim0x21)(cosxx解：这是一个1型的不定式极限，作恒等变形21)(cosxx=xxecosln12其指数部分的极限lim0xxxcosln12是00型的不定式极限，可先求得lim0xxxcosln12=lim0xxx2tan=21从而得lim0x21)(cosxx=21e8例14:求lim0xxkxln1)(sin（k为常数）解：这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求型的极限，lim0xxxkln1sinlnlim0xxxxk1sincos=lim0xxxxksincos=k然后得到lim0xxkxln1)(sin=ke（0k）当k=0时上面的结果仍成立。例15:求xxxxln12)1(lim解：这是一个0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限（型）limxxxxln)1ln(2=limxxx111=1于是有xxxxln12)1(lim=e⒎利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例16：求lim0x422cosxexx解：本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为4x，我们用麦克劳林公式表示极限的分子，（取n=4）cosx=1-22x+244x+o(5x)22xe=1-22x+)(854xox9cosx-22xe=-124xo(5x)因而求得lim0x422cosxexx=lim0x121)(121454xxox⒏利用微分中值定理和积分中值定理求极限例17：求3sin022limxxxx的极限解：3sin3sinsinsin2222xxxxxxxxxx由微分中值定理得，2ln2sin22sinxxxx（介于x与xsin之间）原式=62ln3cos12ln2sinsin2220030sin0limlimlimlimxxxxxxxxxxxx例18：求3sin022limxxxx的极限解：3sin3sinsinsin2222xxxxxxxxxx由微分中值定理得，2ln2sin22sinxxxx（介于x与xsin之间）原式=62ln3cos12ln2sinsin2220030sin0limlimlimlimxxxxxxxxxxxx⒐利用定积分求极限例19：求)212111(limnnnn解：把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：10nniJnin1111li