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专题训练(四)特殊平行四边形中的五种折叠方式►方式一把一个顶点折叠到一边上1．如图4－ZT－1，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是()A．7B．8C．9D．10图4－ZT－12．如图4－ZT－2，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在边AB，BC上，△BEF沿EF折叠得到△GEF，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB＝62，则FG的长为________．图4－ZT－23．如图4－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．图4－ZT－3►方式二把一个顶点折叠到对角线上4．如图4－ZT－4所示，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6图4－ZT－45．如图4－ZT－5所示，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且点D落在对角线上的点D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为()A.32B．3C．1D.43图4－ZT－5►方式三把一个顶点折叠到另一个顶点上6．把一张矩形纸片ABCD按图4－ZT－6所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为______cm2.图4－ZT－67．如图4－ZT－7所示，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接CE.(1)求证：四边形AFCE为菱形；(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数量关系，并说明理由．图4－ZT－7►方式四把一个顶点折叠到图形外或图形内8．如图4－ZT－8，已知正方形ABCD的对角线长为22，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A．82B．42C．8D．6图4－ZT－89．如图4－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是()A．210－2B．6C．213－2D．4图4－ZT－910．如图4－ZT－10，矩形ABCD中，点P，Q分别是边AD和BC的中点，沿过点C的直线折叠矩形ABCD，使点B落在线段PQ上的点F处，折痕交AB边于点E，交线段PQ于点G.若线段BC的长为3，则线段FG的长为________．图4－ZT－1011．如图4－ZT－11，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC折叠矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.(1)求证：四边形AECF为平行四边形；(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC；(3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．图4－ZT－11►方式五多次折叠12．2018·资阳如图4－ZT－12，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH，EH＝12cm，EF＝16cm，则边AD的长是()A．12cmB．16cmC．20cmD．28cm图4－ZT－1213．准备一张矩形纸片ABCD，按如图4－ZT－13所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．图4－ZT－1314．如图4－ZT－14①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平；沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处；再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．图4－ZT－14详解详析1．[解析]C由折叠的性质得EF＝AE＝5.由勾股定理得BE＝4，∴AB＝CD＝9.2．[答案]36[解析]∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∠BAC＝60°.∵EG⊥AC，∴∠AEG＝30°.由折叠可知，∠BEF＝12×(180°－∠AEG)＝75°，∴∠BFE＝180°－(∠B＋∠BEF)＝45°.∴∠BFG＝90°，即FG⊥BC.∴FG＝BC边上的高＝36.3．解：(1)证明：由折叠的性质得∠1＝∠2，ED＝EF，GD＝GF.∵FG∥CD，∴∠1＝∠3，则∠2＝∠3，∴EF＝GF，(方法一)(如图①)∴ED＝EF＝GD＝GF，∴四边形DEFG为菱形．(方法二)(如图①)∴ED＝GF.又∵ED∥GF，∴四边形DEFG为平行四边形．又∵EF＝GF，∴▱DEFG为菱形．(方法三)连接DF交AE于点O(如图②)，则EG⊥DF，DO＝FO.∵EF＝GF，EG⊥DF，∴OG＝OE，∴四边形DEFG为平行四边形，∴▱DEFG为菱形．(2)设DE＝x，则FE＝DE＝x，CE＝8－x.在Rt△EFC中，CF2＋CE2＝EF2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴CE＝8－x＝3，∴CEDE＝35.4．[答案]D5．[答案]A6．[答案]5110[解析]设ED＝xcm，则根据折叠和矩形的性质，得A′E＝AE＝(5－x)cm，A′D＝AB＝3cm.根据勾股定理，得ED2＝A′E2＋A′D2，即x2＝(5－x)2＋32，解得x＝175，∴S△DEF＝12×175×3＝5110(cm2)．7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE.由折叠的性质，可得∠AFE＝∠CFE，AF＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AF＝CF＝AE.又∵AD′＝CD，∠D′＝∠D，D′E＝DE，∴△AD′E≌△CDE，∴AE＝CE，∴AF＝CF＝AE＝CE，∴四边形AFCE为菱形．(2)a，b，c三者之间的数量关系为a2＝b2＋c2.理由如下：由(1)知CE＝AE.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°.∵AE＝a，ED＝b，DC＝c，∴CE＝AE＝a.在Rt△DCE中，CE2＝ED2＋DC2，即a2＝b2＋c2.8．[答案]C9．[答案]A10．[答案]3[解析]由折叠可知△CEF≌△CEB，∴FC＝BC＝3，∠ECF＝∠ECB.由P，Q分别是矩形ABCD的边AD，BC的中点，得∠FQC＝90°.∵QC＝12BC＝12FC，∴∠CFQ＝30°，∴∠FCQ＝60°，∴∠ECB＝∠ECF＝∠CFQ＝30°，∴FG＝CG＝3.11．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥DC.∵E为AB的中点，∴AE＝BE.又由翻折知：EC⊥BP，EP＝EB＝AE，∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°，∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°，∴EC∥AF，∴四边形AECF为平行四边形．(2)证明：∵△AEP是等边三角形，∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°，∴∠PEC＝∠BEC＝60°.由折叠的性质，得∠EPC＝∠EBC＝90°.由(1)知∠APB＝90°，∴∠APB＝∠EPC，∴△APB≌△EPC.(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点，∴AE＝BE＝12AB＝3.在Rt△BEC中，EC＝BE2＋BC2＝5，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF＝EC＝5.如图，设CE与BP交于点H.∵BE·BC＝EC·BH，∴BH＝125，∴PH＝BH＝125，∴BP＝245.在Rt△BPA中，AP＝AB2－BP2＝185，∴PF＝75.过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G，∴CG＝PH＝125，∴△CPF的面积＝12PF·CG＝12×75×125＝4225.[点评](1)抓住翻折图形的特点：对应边相等，对应角相等．进而抓住AE＝BE＝PE的图形特点——A，P，B三点构成的三角形是直角三角形．(2)本问考查等边三角形的性质、三角形内角和、全等三角形的判定等知识．(3)本问考查了平行四边形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识．12．[解析]C设点A，B折叠后的对应点为M，∵∠HEM＝∠HEA，∠FEB＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12(∠AEM＋∠BEM)＝12×180°＝90°.同理，∠EHG＝∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴EF＝HG.∵AD∥BC，∴∠DHF＝∠HFB，∴∠DHG＝∠BFE，∴Rt△BEF≌Rt△DGH，∴BF＝HD.∵HA＝HM，BF＝MF，∴HD＝MF，∴AD＝HA＋HD＝HM＋MF＝HF＝EH2＋EF2＝122＋162＝20(cm)．故选C.13．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF.又∵ED∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．(2)∵四边形BFDE是菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝233，BF＝BE＝2AE＝433，∴菱形BFDE的面积为433×2＝833.14．解：(1)证明：当DE是折痕时，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC＝∠AED，∴AD＝AE.当EF是折痕时，AE＝EG，∴AD＝EG.当CE是折痕时，CH＝BC.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∴EG＝CH.(2)∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2，∴DG＝FG＝AF＝2，DF＝2，∴AD＝AF＋DF＝2＋2.由折叠知∠AEF＝∠GEF，∠BEC＝∠HEC，∴∠AEF＋∠BEC＝90°.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠BEC＝∠AFE.又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝AD＝BC，∴△AEF≌△BCE，∴AF＝BE，∴AB＝AE＋BE＝(2＋2)＋2＝22＋2.