十字相乘法进行因式分解(详案)

一流教育——圆你成功梦1十字相乘法进行因式分解【基础知识精讲】（1）理解二次三项式的意义；（2）理解十字相乘法的根据；（3）能用十字相乘法分解二次三项式；（4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法．【重点难点解析】1．二次三项式多项式cbxax2，称为字母x的二次三项式，其中2ax称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，322xx和652xx都是关于x的二次三项式．在多项式2286yxyx中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式37222abba中，把ab看作一个整体，即3)(7)(22abab，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2yxyx，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式qpxx2，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式))(()(2bxaxabxbax分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．一流教育——圆你成功梦2（2）对于二次项系数不是1的二次三项式cbxax2(a，b，c都是整数且a≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,ccaa，使aaa21，ccc21，且bcaca1221，那么cbxax2))(()(2211211221221cxacxaccxcacaxaa它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522xxyxyx3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1把下列各式分解因式：（1）1522xx；（2）2265yxyx．点悟：（1）常数项－15可分为3×(－5)，且3＋(－5)＝－2恰为一次项系数；（2）将y看作常数，转化为关于x的二次三项式，常数项26y可分为(－2y)(－3y)，而(－2y)＋(－3y)＝(－5y)恰为一次项系数．解：（1）)5)(3(1522xxxx；（2）)3)(2(6522yxyxyxyx．例2把下列各式分解因式：（1）3522xx；（2）3832xx．一流教育——圆你成功梦3点悟：我们要把多项式cbxax2分解成形如))((2211caxcax的形式，这里aaa21，ccc21而bcaca1221．解：（1）)3)(12(3522xxxx；（2）)x)(x(xx3133832．点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3把下列各式分解因式：（1）91024xx；（2）)(2)(5)(723yxyxyx；（3）120)8(22)8(222aaaa．点悟：（1）把2x看作一整体，从而转化为关于2x的二次三项式；（2）提取公因式(x＋y)后，原式可转化为关于(x＋y)的二次三项式；（3）以)8(2aa为整体，转化为关于)8(2aa的二次三项式．解：（1）)9)(1(9102224xxxx＝(x＋1)(x－1)(x＋3)(x－3)．（2）)(2)(5)(723yxyxyx]2)(5)(7)[(2yxyxyx＝(x＋y)[(x＋y)－1][7(x＋y)＋2]＝(x＋y)(x＋y－1)(7x＋7y＋2)．（3）120)8(22)8(222aaaa)108)(128(22aaaa)108)(6)(2(2aaaa一流教育——圆你成功梦4点拨：要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能分解，要分解到不能再分解为止．例4分解因式：90)242)(32(22xxxx．点悟：把xx22看作一个变量，利用换元法解之．解：设yxx22，则原式＝(y－3)(y－24)[phone]yy＝(y－18)(y－9))92)(182(22xxxx．点拨：本题中将xx22视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果．此外，)9)(18(162272yyyy一步，我们用了“十字相乘法”进行分解．例5分解因式653856234xxxx．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222xxxxx]50)1(5)1(6[22xxxxx，令yxx1，则原式)5056(22yyx)103)(52(2yyx)1033)(522(2xxxxx)3103)(252(22xxxx)13)(3)(12)(2(xxxx．一流教育——圆你成功梦5点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花瞭乱．但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”，这是一个重要环节．例6分解因式655222yxyxyx．点悟：方法1：依次按三项，两项，一项分为三组，转化为关于(x－y)的二次三项式．方法2：把字母y看作是常数，转化为关于x的二次三项式．解法1：655222yxyxyx6)55()2(22yxyxyx6)(5)(2yxyx)6)(1(yxyx．解法2：655222yxyxyx65)52(22yyxyx)1)(6()52(2yyxyx)]y(x)][y(x[16＝(x－y－6)(x－y＋1)．例7分解因式：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b)．点悟：先将前面的两个括号展开，再将展开的部分重新分组．解：ca(c－a)＋bc(b－c)＋ab(a－b))(2222baabbccbcaac)()()(222baabbacbac)())(()(2baabbabacbac])()[(2abbaccba＝(a－b)(c－a)(c－b)．一流教育——圆你成功梦6点拨：因式分解，有时需要把多项式去括号、展开、整理、重新分组，有时仅需要把某几项展开再分组．此题展开四项后，根据字母c的次数分组，出现了含a－b的因式，从而能提公因式．随后又出现了关于c的二次三项式能再次分解．例8已知12624xxx有一个因式是42axx，求a值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624xxx是四次多项式，有一个因式是42axx，根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32bxx（a、b是待定常数），故有12624xxx2(x)3()42bxxax．根据此恒等关系式，可求出a，b的值．解：设另一个多项式为32bxx，则12624xxx)3)(4(22bxxaxx12)43()43()(234xbaxabxbax，∵12624xxx与12)43()43()(234xbaxabxbax是同一个多项式，所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得，a＝－1，b＝1，代入②，等式成立．∴a＝－1，另一个因式为32xx．点拨：这种方法称为待定系数法，是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．【易错例题分析】例9分解因式：22210235yabyba．错解：∵－10＝5×(－2)，5＝1×5，5×5＋1×(－2)＝23，一流教育——圆你成功梦7∴原式＝(5ab＋5y)(－2ab＋5y)．警示：错在没有掌握十字相乘法的含义和步骤．正解：∵5＝1×5，－10＝5×(－2)，5×5＋1×(－2)＝23．∴原式＝(ab＋5y)(5ab－2y)．【同步练习】一、选择题1．如果))((2bxaxqpxx，那么p等于()A．abB．a＋bC．－abD．－(a＋b)2．如果305)(22xxbxbax，则b为()A．5B．－6C．－5D．63．多项式axx32可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为()A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是()A．22xxB．xxx310322C．242xxD．22865yxyx5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是()A．20)(13)(22yxyxB．20)(13)22(2yxyxC．20)(13)(22yxyxD．20)(9)(22yxyx6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有()①672xx；②1232xx；③652xx；④9542xx；⑤823152xx；⑥121124xxA．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题一流教育——圆你成功梦87．1032xx__________．8．652mm(m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________．9．3522xx(x－3)(__________)．10．2x____22y(x－y)(__________)．11．22____)(____(_____)amna．12．当k＝______时，多项式kxx732有一个因式为(__________)．13．若x－y＝6，3617xy，则代数式32232xyyxyx的值为__________．三、解答题14．把下列各式分解因式：（1）6724xx；（2）36524xx；（3）422416654yyxx；（4）633687bbaa；（5）234456aaa；（6）422469374babaa．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(xx；（2）9)2(22xx；（3）2222)332()123(xxxx；（4）60)(17)(222xxxx；（5）8)2(7)2(222xxxx；（6）48)2(14)2(2baba．16．把下列各式分解因式：（1）baaxxba2)(2；（2）)